Question

uu

請問這題，謝謝～

7. 若不等式1500<2C"+4C"+8C++2"C"<2500,求正整數n為 15
2'C%+2*C2+...+2"ch
+1 2" Cn+2 Ch 1+...+2'C"
(2+2")+C2(2+2")+..+(2"+2')

Answer 1

qn

中間看起來像二項式定理
(1+x)ⁿ = Cⁿ₀x⁰ + Cⁿ₁x¹ + Cⁿ₂x² + Cⁿ₃x³ + ⋯ + Cⁿₙxⁿ
令 x=2
(1+2)ⁿ = 2⁰Cⁿ₀ + 2¹Cⁿ₁ + 2²Cⁿ₂ + 2³Cⁿ₃ + ⋯ + 2ⁿCⁿₙ

所以中間的東西就是
2¹Cⁿ₁ + 2²Cⁿ₂ + 2³Cⁿ₃ + ⋯ + 2ⁿCⁿₙ
= (1+2)ⁿ - 2⁰Cⁿ₀
= 3ⁿ - 1

從 3ⁿ 估計：
3⁶ = 729
3⁷ = 2187
3⁸ = 6561

所以 n=7
( 3⁷-1= 2186 )