Question

はる

青チャートⅢC p.131
aとbの値を求める問題なのですが、普通にsinxとcosxの係数比較でa+2b=3、b=4として求めるのはダメですか？

2x
(2) y=2e*sinx+ecosx=e (2sinx+cosx)
y=2e2x(2sinx+cosx)+e(2cosx-sinx)
=e2x(3sinx+4cosx)
①
ゆえに ay+by=aesinx+be2x(2sinx+cosx)
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
y=ay+by' に ①,②を代入して
e2x
*****
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
③
③はxの恒等式であるから, x=0 を代入して 4=b
また,x=77
7 を代入して3e=e* (a+2b)
これを解いて
a=-5,b=4
このとき (③の右辺)
したがって
=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺)
a=-5,b=4

高次導関数 導関数 微分法

Answer 1

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Take

はる様
sinx と cosx の係数比較は
「すべての x について Asinx+Bcosx=Csinx+Dcosx ⇔ A=C , B=D 」　…①
という性質を前提にしていますが、これは明らかに成り立つものではなく、
証明が必要です。（①を証明してからであれば係数比較はできます）
たとえば、①を少し変えた命題
「すべての x について Asinx+Bcos｛(π/2)-x｝=Csinx+Dcos｛(π/2)-x｝ ⇔ A=C , B=D 」　…②
は一般には成り立ちません。( 反例：A=3 , B=4 , C=2 , D=5 )
したがって、不用意に係数比較するのは危険だと思います。