解答
B1-50
(520)
第8章 数
列
例 B1.28 群数列(1)
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1から順に奇数を並べて、下のように 1個 3個 5個 … となるよ
うに群に分け、順に第1群, 第2群,......とする.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 | 19 ....
(1) 第n群の最初の数と最後の数を求めよ.
(2)第群に含まれる数の総和を求めよ。
(3)207は第何群の何番目の項か.
[考え方 このように、数列をある規則によっていくつかの群に分けているものを、群数列という。
各群にいくつずつ項が入っているか考える.
群
項数
数列
項数の和
1
1
2
3
1+3
3
5
9, 11, 13, 15, 17
3,5,7
n-12(n-1)-1, O-2, O
"
2n-1
〇+2,••••••
1+3+5
XUX
1+3+5++{2(n-1)-1}
1+3+5++{2(n-1)-1}+(2n-1)
初項1 公差2の等差数列 {an}, すなわち, an = 2n-1 が群にわけられている。
群数列のポイント)
(2) 第n群だけを1つの数列として考え, 初項, 項数などを求める.
(1) 第n群の1つ前の群(第 (n-1) 群) までに項数がいくつあるか考える
(3)まずは207 が第何群に属するか考える.
D D
(1) 第群には (2圈-1) 個の数が入っているので, 第1
群から第 (n-1) 群 (n≧2) までに入る数の個数は、
1+3+5+......+{2(n-1)-1}
=1/2(n-1){1+(2-3)
=(n-1)^......①
したがって,第n群の最初の数は、
(n-1)2+1=n-2n+2 (番目) の数である._
第n群の最初の数は2n+2 番目の奇数であり,
その数は,
2(n-2n+2)-1=2m²-4n+3
これは n=1のときも成り立つ.
D
第1群…1個
第2群・・・3個
第3群･･･5個
第2群･･･ (2n-1)個
2(n-1)-1=2n-3
より,初項1,末項
2-3 項数n-1の
等差数列の和
もとの数列{2n-1)の
nの代わりに
2n+2 とする。
こ
次に,第n群の最後の数を考える
第1群から第n群までに入る個数を考えて、①より,
2番目の奇数であるから,その数は, 2n-1
よって,第n群の最初の数は2n4n+3,
最後の数は 2n²-1
01
①と同様にして求め
られるが、 ①のn-1
この代わりにとする
とよい.
(2)第群は,(1)より初項 2m²-4n+3,末項 2m²-1,
項数2m-1の等差数列だから、その
(2n-1){(2m²-4n+3)+(2n-1)}
=(2n-1)(4n²-4n+2)
=(2n-1)(2m²-2n+1)
(d) 5/80
初項 α末項ℓ, 項数
Stesso
nの等差数列の和は,
S.=(a+e)
