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I wishがあるから、その後ろの節は仮定法になる
これはわかりますよね。
at that timeが過去のときを表しますから、
仮定法のなかでも、仮定法過去完了を使います。
これも大丈夫そうですかね？
細かくいうと余計ややこしく感じちゃうかもですが
「あのとき◯◯だったらなぁ（過去のこと）」
と、いま願ってる。
事実とは反する過去のことについて
これが事実だったら良かったのになーと、いま思ってる
…という表現になればOKなのです。
①と②は何が違うというと、
仮定法ではなくて直説法になおして
例文を作ってみればわかります。
直説法に直すと
①I will have bought the house at that time
私はあのときその家を買っただろう
（過去についての推量）
と
② I bought the house at that time
私はあのときその家を買った（過去の事実）
となりますが
仮定法過去完了はさっきも言ったとおり
"事実とは反する過去のこと"について
これが事実だったら良かったのに
という表現なのです。
言い換えると
推量について述べる表現ではなくて
事実について述べて、
かつ、それを裏返す表現なのです。
だから①のwouldは要らないのです。
I wish I had bought the house at that time
は
私があのとき家を買った という
過去の"事実"の表現について
その表現が真実だったらいいのになー（実際は違う）
と言っているのです。
こんなにも詳しく解説と補足までありがとうございます！
理解することができました！
ややこしかったら忘れてくれて構わないのですが
一応補足しておきます。
I wish の後ろに、
would have 過去分詞 という並びが
絶対来ないかというと、そうでもなくて
まず一つは
カジュアルな表現とか話し言葉としては
I wish I would have bought〜というふうに
言う場合もあるようです。
ただし、文法的に正しいのは
had boughtという形だということです。
それともう一つ、
そもそも
直説法のI will have 過去分詞〜という形は、
2つの読み取り方ができるのはわかりますか？
a) 過去の内容について、現在の時点で推量する
He will have bought the house at that time
「彼はあのとき、家を買っただろう」
b)未来のある時点で、動作が完了していることを表す
（=未来完了）
He will have bought the house by next month
「彼は来月までに、その家を買っているだろう」
今回の問題で説明してきたのはa)の方です。
aの用法は、繰り返しになりますが
I wishの後ろで仮定法で使うのは
カジュアルな表現として使うけども、文法的に正しくはない。
一方bの用法は、仮定法にして、I wishの後ろに続けることができます。
I wish she would have done it by eight.
「彼女が8時までにそれをやり終えていればいいんだけど」
これは見た目は仮定法過去完了に見えるけど
実際には仮定法過去になります。
過去のことではなくて、まだ起きていない未来のある時点までに動作が完了してればなぁ、
と言っているのです。
もうすでに終わった過去の事実についての話ではなくて、これからの未来の話をしている。
だから仮定法の分類で言うと
仮定法過去完了（過去のこと）ではなくて、
仮定法過去（現在と未来のこと）です。