Question

現役中学生ちゃん

この問題分かる人いらっしゃいますか？

(4) 右の図のように, AB <AC, ∠BAC=90°の△ABCが
あり,辺ABの延長上に点D, 辺AC上に点EをBD=CE」
となるようにとり, 辺BCと線分DEとの交点をFとする。
AB=acm, AC =bcmで, △ADEが直角二等辺三角
形であるとき, BDFの面積と△CEFの面積の和を, a,
b を使って表すと,
☐ a² + b² (cm²)
D
となる。
にあてはまる数を答えなさい。
B
acm
bcm
F

Answer 1

あべへべ

便宜上BD=EC=cとします
AD=a+c、AE=b-c、AD=AEなので
a+c=b-c 　b-a=2c･･･①、c=(b-a)/2･･･②となります
点Bを通りDEに平行な直線とACとの交点をPとする
するとPC=b-aとなり①の2cとなる
また、EC=cであるからPE=cである

点Pを通りACに垂直な線分を書くと∠PEF=45°、∠EPF=90°より三角形PEFは直角二等辺三角形になり、PF=cとなる
同様に点Fを通りADに垂直な線分を書き、その交点をQとする
すると∠QDF=45°、∠DQF=90°より三角形QDFは直角二等辺三角形となる

また、①のb-a=2cよりa=b-2cとなりこれはAPと等しい
よってAP=aでありFQ=aである

したがって三角形BDFの面積はBD×FQ×1/2=c×a×1/2=ac/2
三角形CEFの面積はCE×FP×1/2=c²/2
よってこれらの和はac/2+c²/2=(c²+ac)/2
ここで②より c=(b-a)/2なので、

【{(b-a)/2}²+a(b-a)/2】={(a²-2ab+b²)/4+(2ab-2a²)/4}/2={(b²-a²)/4}/2=(b²-a²)/8=-a²/8+b²/8

となり四角の中は、-1/8,1/8になるんじゃないかと思います

あべへべ

最後の計算部分です