Question

おしお。

(2)(3)の答えで、なぜ焦点を求めただけで楕円や双曲線と判断できるんですか？

次の点の軌跡を求めよ。
(1)点 (1,1) と直線x=5からの距離が等しい点
(2)2点 (1-3) (1, -1) からの距離の和が4である点
(3)2点(-7,2) (12) からの距離の差が6である点

22点(1,3), 1, -1) をそれぞれ A,Bと
すると、求める軌跡は2点A,Bを焦点とする
楕円Cであり,その中心は線分ABの中点 aas
(1-2) である。
81 TO
楕円の中心が原点に移るように,Cをx軸方向
に-1, y 軸方向に2だけ平行移動すると, 焦点
-1),
が2点(0, 1), (0, 1) の楕円 C'になる。 (1)
焦点がy軸上にあるから, C' の方程式は
x2
1,2
a2
+
(火)
62
-=1b>a>0) とおける。
=
。。
焦点からの距離の和について, 264 であるか
6=2,624
焦点の座標について,Vb2-a2 =1であるから
a2=62-12=4-1=3
(祝斗
よって, C' の方程式は
2
x²
2
+ =1
3 S 4
求める軌跡は, C' を x 軸方向に 1, y 軸方向に
−2だけ平行移動したものであるから

(3)2点 (72) (12) をそれぞれ A,Bとする
と、求める軌跡は2点A,Bを焦点とする双曲
線Cであり,その中心は線分ABの中点
(-3, 2) である。
双曲線の中心が原点に移るように, Cをx軸方
向に3, y 軸方向に −2だけ平行移動すると, 焦
点が2点 (-4, 0) (4, 0) の双曲線 C′ になる。
焦点がx軸上にあるから, C' の方程式は
x (S)
x2
y 2
-
=
a²
2
62
1(a>0,60)とおける。
とおける
焦点からの距離の差について, 2a=6であるか
ら
a=3, a2=9
焦点の座標について, Va2+b2=4であるから
点Qは曲 62=42-α²=16-9=7
2
よって、C'の方程式は ー=1
(
y
9
7
求める軌跡は, C' をx軸方向に3, y 軸方向
A
に2だけ平行移動したものであるから
(x+3)2(y-2)2
258 (1) 双曲線
= 1
9
7
LLINAL

Answer 1

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mo1

参考・概略です

＞(2)(3)の答えで、なぜ焦点を求めただけで
＞楕円や双曲線と判断できるんですか？

●問題文からわかります

(1)点と直線との距離が等しい点･･････････放物線
(2)2点からの距離の「和」が□である点･･･楕円
(3)2点からの距離の「差」が□である点･･･楕円

補足
図形的性質も抑えておくことをお勧めします

おしお。

ありがとうございます！