Mathematics
มัธยมปลาย
解説でBE＝2/5BOとなっているのですがどこからそれがわかったのかわからないので教えて頂きたいです。
5555
EX
56
座標空間において, 原点0を中心とし半径が5の球面をSとする。 点A(1,1,1) からベク
トル = 0, 1, -1)と同じ向きに出た光線が球面Sに点Bで当たり 反射して球面Sの点C
に到達したとする。 ただし, 反射光は点 0, A,Bが定める平面上を, 直線OB が ∠ABC を二
等分するように進むものとする。 点C の座標を求めよ。
[早稲田大 ]
球面Sの方程式は x2+y2+22=5
B
与えられた条件から,正の実数んを用いて,
A
OB=0A+AB=OA+ku= (1,1+k, 1-k)
E
と表される。
D
よって, 点Bの座標は (1, 1+k, 1-k)
点Bは球面S上にあるから
12+(1+k)+(1-k)=5
C
MESAUTS
整理して
k2=1
したがって,点Bの座標は
k> 0 であるから
(1,2,0)
k=1
次に, 線分AD と線分 OB が直交するように, 線分BC上に点
Dをとる。 また, 線分AD と線分 OB の交点をEとする。
このとき |BE|=|BA|cos∠ABO
ゆえに
=|BA|X
|BE|
|BŐ|
BA.BO BA BO
|BA||BÖ|
BE= BOBA・BO BO
IBOP
|BÖ|
|BÖ|=√5,BA=(0, -1, 1), BÔ=(-1,-2, 0) より,
BABO = 2 であるから
2
BE-BO-(--0)
D は線分 AE を2:1に外分する点であるから
←BÉはBAのBO 上へ
の正射影ベクトルである
から
BE =
BA BO
-BO
|BO|2
(本冊 p.57 参考事項を参
照。)
BO
AMS
=(球面Sの半径)
(1)
BD=
-BA+2BE
4
2-1
=(-1 -33. -1)
=(0, 1, -1)+(-1, -1, 0)
8
+0x (1+1)
5
5'
よって、 正の実数を用いて,
OC=DB+mBD=(1-1,2-1m-m)
010-05-09
28
(1-1/23m2-1/2m-m)
と表される。
4
ゆえに 点Cの座標は
m,
点Cは球面S上にあるから
+12-
5
07
3m. -m)
5
(1— — —²m)²+(2−3³ ³ m)²+(−m)²=5
よって
m(m-2)=0
したがって, 点Cの座標は
>0であるから
3 41
5' 5
①
Jeb
M
2)1+1+1.0)
ea
m=2
2
IN IN
IN
←球面Sの方程式に代
入。
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