Question

きらけ

2018年筑駒数学の問題です。 解いたのですかあっている自信が無いので、教えてくれると助かります

4 正十二面体の各面は合同な正五角形です。
一辺の長さが2cmである正十二面体の頂点を,
図のようにA, B, C, D, E, F, G, H, I,
J,K,L,M,N, 0, P, Q, R, S, Tと
します。このとき, 次の問いに答えなさい。
(1) A, B, ., Tの20個の頂点から, 2個を選
び線分を作ります。 辺ABに平行な線分はいくつ
作れますか。
ただし,線分 ABは数えません。
(2) A, B, .
Tの20個の頂点から,うまく8
個の頂点を選ぶと, それらを頂点とする立方体を
作ることができます。 この立方体の体積を求めな
さい｡
(3) 線分FJの長さを求めなさい。
D
O
N
F
P
E
A
M
T
G
L
B
H
S
R
K
J
F
P
E
A
M
T
G
D
B
H
R
C
2 cm

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

きらうる

(1)は数えればできますので省きます。
(2)
8個の頂点を結ぶと、緑のような立方体ができます。
この立方体の1辺は正五角形の対角線になります。
対角線をどう求めるのか、ですが、相似を使って求めます。
正5角形の1辺を2として(右下の図)、対角線をxとします。
正五角形の1つの角は108°、対角線をすべて引くと1つ分のの角は108°÷3＝36度になります。つまり、∠FAB＝∠BCAなどから、△ABC∽△AFBが言えます。
AB：AF＝AC：AB　（対応順はバラバラです）
2：x-2＝x：2
→　x²-2x-4＝0
→　x＝1+√5　（x＞0）
よって、立方体の1辺が1+√5になるので、立方体の体積は
(1+√5)³
＝(1+√5)²×(1+√5)
＝(6+2√5)(1+√5)
＝16+8√5

(3)
FJを対角線とする正五角形は、写真の赤の五角形です。ですので、黒の五角形と赤の五角形の相似を使って求めます。
赤の線は1本が1+√5なので、FJ＝yとすると、
2：1+√5＝1+√5：y
→　y＝3+√5

正五角形の対角線の求め方さえ知っていれば、難しい問題ではありません。

きらけ

なるほど！ ありがとうございます！