✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
將取出的球排成一列，可計算所有情況數是
14!/(5!9!) = 2002
例如 ○●●○●●●●○○●●○●
是隨機1種排列。
因為第5顆白球是關鍵，
我們可以知道它可能的位置是
左邊數來第5顆、第6顆、第7顆、 ……、第14顆。
如果第5顆白球是左邊數來第5顆
表示前4顆必為白球，排列數是 4!/4!=C(4,4)
如果第5顆白球是左邊數來第6顆
表示前5顆是 4白1黑，排列數是 5!/(4!1!)=C(5,4)
如果第5顆白球是左邊數來第7顆
表示前6顆是 4白2黑，排列數是 6!/4!2!=C(6,4)
......
依此類推到
第5顆白球是左邊數來第14顆（即最後一顆）
表示前13顆是 4白9黑，排列數是 13!/(4!9!)=C(13,4)
我們就可以列期望值表格：
第5顆
白球位置 5 6 7 …… 14
剩餘黑球
顆數 9 8 7 …… 0
排列數 C(4,4) C(5,4) C(6,4) ...... C(13,4)
相乘相加得到
9×1+8×5+7×15+6×35+5×70+4×126
+3×210+2×330+1×495+0×715=3003
再把它除以 2002，就是黑球剩餘顆數期望值
3003/2002 =1.5 顆。
感謝🐙
然後這種問題在某一個考古題出現過：
一袋中有 m 個白球與 n 個黑球，每次從袋中一次取一球，取後不放回，直到取完所有白球為止，求所取球數的期望值。
答案在圖片（這個答案我沒有想過，可能要再想看看）
根據答案給的公式套到這題，
m=5，n=9
可以算出取球期望值是 5 + 45/6 = 12.5 顆
因為取完白球就停止，我們就可以用
總數14顆球 – 12.5 顆球 = 剩餘 1.5顆黑球。
這樣也是一種算法
不過前提是要思考這題考古題的答案，
是怎麼來的。