Mathematics
มัธยมปลาย
空間ベクトル
(4)について、私はxy平面を動くならz=0だろうと思ってそれを与式に代入してその後何をすればいいのか分からず止まってしまいました。
何がいけなかったのでしょうか。
244 空間に球面 S: x2+y^+22-4z=0 と定点A(0, 1,4) がある。
O (1) 球面 S の中心Cの座標と半径を求めよ。
X (2) 直線 AC と xy平面との交点Pの座標を求めよ。 PはAC」である。
クサイン
2016
(3) xy平面上に点B(4,-1,0)をとるとき､直線ABと球面Sの共有点の座
標を求めよ。 ☆
32
何か文字でおこう
(4) 直線AQ と球面Sが共有点をもつように点Qがxy平面上を動く。 この
WINE
とき, 点Qの動く範囲を求めて、 それを xy平面上に図示せよ。
[16 立命館大〕
244 (1) S の方程式から
よって、球面Sの中心の
原点を0とする。
点Pは直線AC上にあるから､ を実数として次のように表される。
OP=OA+kAC=(0.1.4)+k(0,-1,-2)=0.1k,
点Pはxy平面上にあるから 4-2k=0
ゆえに、点Pの座標は
(0.1.0)
3) 直線AB上の点をRとすると,まを実数として次のように表される。
x² + y² +(2-2)² =2² (
I
1 = 1/2 1/8
半径は2である。
⑩0.0.2)
4-2k
よって2
OR = OA+/AB=(0,1.4)+1(4,-2,4)=(41.1-21,4-42)
ゆえに R (41, 1-21, 4-41)
点の座標を①に代入して
よって
361² -20/+1=0
したがって
(41)2+(1-20)2 +(2-4F)²=4
ゆえに (21-1)(187-1) = 0
(2. 0. 2). (34)
よって、求める共有点の座標は
(4) 点Qは xy平面上を動くから,
直線AQ上の点をTとすると を実数として次のように表される。
OT OA+1AQ=(0, 1, 4)+X. F-1, -4)
0) とおく｡
Q(X,Y,
=(tX, 1+f(X-1), 4-4t)
T (tX, 1+ tY-1), 4-4z)
点丁の座標を①に代入して (tX)²+(1+t(P-1)+(2-4c²=4
について整理すると {X^2+(-1)+16) + 2(Y-9jf+1 = 0
直線AQ と球面Sが共有点をもつからこの2次方程式は実数解を
もつ。
key xy平面上の点は
0である。
[key] xy平面上の点Qに対して、
直線AQ が球面Sと共有点をもつ
条件を求める。
[Support AQ上の点丁の
座標を代入した方程式が実数解を
てい
?
クリアーIⅡAB 受験編
よって､判別式をDとすると
1=(-9)-(X^2+(-1)' +16) 20
整理すると YS-1X²+4
16
よって、xy平面上で点Qの動く範囲は、不
16
等式 ys-15 +4の表す領域であり,右
の図の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。
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