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重要 例題120 素数の問題 (余りによる整数の分類の利用)
n は自然数とする。n,n+2, n+4がすべて素数であるのはn=3の場合だけで
〔早稲田大, 東京女子大]
基本 117
あることを示せ。
n+2 4 (5 7 9 13 15
指針▷nが素数でない場合は条件を満たさない。 n, n+2, n+4の中にnが含まれている。
nが素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ
n (2) 3 (5) 7 11 13
ると右の表のようになり, n, n+2, n+4の中には必ず
3の倍数が含まれるらしい, ということがわかる。
よって, n=2,3のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ が5以上の素数のときは,
n+4 6 7:9 11 15 17
3の倍数
○:素数
n=3k+1, 3k+2の場合に分けて, 条件を満たさない,すなわち n +2, n +4のどちらかが
素数にならないことを示す、という方針で進める｡
CHART 整数の問題 いくつかの値で小手調べ (実験) 規則性の発見
解答
nが素数でない場合は,明らかに条件を満たさない。
nが素数の場合について
[1] n=2のとき, n+2=4 となり, 条件を満たさない。
[2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7 で, 条件を満たす。
[3]nが5以上の素数のとき, nは3k+1,3k+2は自然
数)のいずれかで表され
(i) n=3k+1のとき
n+2=3k+3=3(k+1)
+1は2以上の自然数であるから, n +2 は素数にならず、
条件を満たさない。
(ii) n=3k+2のとき
n+4=3k+6=3(k+2)
+2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数にならず,
条件を満たさない。
以上から、条件を満たすのはn=3の場合だけである。
練習
⑩ 120
4
→
3数のうち, nが素数でな
い。
<n+4(=6) も素数でない。
<n=3k (n≧5) は素数にな
らないから、この場合は考
えない。
の断りは重要。 k+1=1
とすると, n+2=3 (素数)
となるため,このように書
いている [(ii) でも同様] 。
検討 双子素数と三つ子素数
は自然数とする。 n, n+2がともに素数であるとき,これを双子素数という。また,
(n, n+2, n+6) または (n, n+4, n+6) の形をした素数の組を三つ子素数 という。 なお,
上の例題から, n, n +2, n+4の形の素数は (3, 5, 7) しかないことがわかるが, これを三つ子
年), そのことは証明されていない。
素数とはいわない。 双子素数や三つ子素数は無数にあることが予想されているが, 現在 (2018
²+2がともに素数になるような自然数nの値を求めよ。
lette
[ 類 京都大〕
+
