Question

嗨

想請問這幾題怎麼算？
答案
1. k=8/9 x=1/4
2. 7
3. 2/3

8. 已知x∈R,若無窮等比級數1+(2x-1)+2e^(2x-1)'+''+20^-'(22x-1)'-' + … 收斂於
k,試求k之最小值及此時c之值。(8分)
[配合習題 9]
解

-
(2) 4k+¹ – 3k
】
k=1
6k
O
(4分)
A)1-1

免
可
+(1-02)2+(1-3)2+東華香油、
10.設拋物線 y = 8"x²−2"(2" +1)x+1與æ軸之兩交點的距離為d,其中n為正整數,試求
不
[配合例題 7]
80
∑d 之值。(8 分)
n=1

Answer 1

qn

1.
k = 1/[1-x(2x-1)] = 1/(-2x²+x+1)
-2x²+x+1 = -2(x-¼)²+9/8 ≤ 9/8
所以 k ≥ 1/(9/8) = 8/9, 有最小值時 x=¼

2.
原式 = Σ[4×(4/6)ᵏ-(3/6)ᵏ]
= 4Σ(2/3)ᵏ-Σ(1/2)ᵏ
= 4×(2/3)/[1-(2/3)] - (1/2)/[1-(1/2)]
= 4×2-1
= 7

3. 兩交點距離=[√(b²-4ac)]/a=√[(b/a)²-4(c/a)]
(可以從公式解推導出)
dₙ = √{[2ⁿ(2ⁿ+1)/8ⁿ]²-4/8ⁿ}
= √{[(2ⁿ+1)/2²ⁿ]²-2²⁻³ⁿ}
= √{[2⁻ⁿ+2⁻²ⁿ]²-2²⁻³ⁿ}
= √{[2⁻²ⁿ+2¹⁻³ⁿ+2⁻⁴ⁿ]-2²⁻³ⁿ}
(2²⁻³ⁿ=2×2¹⁻³ⁿ)
= √[2⁻²ⁿ-2¹⁻³ⁿ+2⁻⁴ⁿ]
= √[(2⁻ⁿ)²-2(2⁻ⁿ)(2⁻²ⁿ)+(2⁻²ⁿ)²]
= √[(2⁻ⁿ-2⁻²ⁿ)²]
=2⁻ⁿ-2⁻²ⁿ
Σdₙ = Σ(2⁻ⁿ-2⁻²ⁿ)
= Σ(1/2)ⁿ-Σ(1/4)ⁿ
= 1/(1-½) - 1/(1-¼)
= 2-4/3
= 2/3