Question

あいり

解答の2行目の「で連続であるから〜」の後の部分って、自分が付け足した1+0を根拠としてその後の式をたてても問題ありませんか？
なぜ極限の1−0とf(1)の二つを使うのでしょうか。

15 導関数
Example 15 *****
[ax2+bx-2 (x≧1)
関数f(x)をf(x)={1+(1-a)x2(x<1)
分可能となるような α, b の値を求めよ。
576
解答 f(x)がx=1で微分可能であるとき, f(x) は x=1
で連続であるから lim f(x)=f(1) lif
x→1-0
x 110 11
1+(1-a)=a+b-2
よって
ゆえに 2a+b=4
と定める。 f(x)がx=1で微
[芝浦工大]
-
1+z=(2)₂2 pa
key f(x) が x =α で
微分可能ならば, f(x)
は x = α で連続。 また
f(a+h)-f(a)
h
lim
ん→+0

導関数

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

希

x→1+0だと、xを右から1に近づけることになります。要するに、x>1のほうから1に近づけることになります。
しかし、問題ではx≧1のときf(x)=ax^2+bx-2となっており、f(0)の場合も定義されています。なので、右極限は必ず存在し、わざわざx→1+0の式を立てる必要がありません。
その後のx=1で連続という条件によって左極限もf(1)になることが分かるので、その式を立てます。

あいり

再度質問すみません🙇‍♀️
「f(0)の場合も定義されている」とはx≧1の式のxに0を代入した時-2という値が出てるくるため、これを右極限が存在と判断できるということですか？

希

そうですね。
x≧1のときはx=1も含まれているので必ずx→1+0とした時とf(1)は一致します。

しかし、x<1のときはx=1を含んでいないので、x<1のほうからxを0に近づけた値とf(1)が一致しているとは限りません。ですが問題文で一致するということが分かるので、解答の2行目の式が立てられるようになります。

あいり

詳しくお答えしていただきありがとうございました。
理解が深まりました。

Answer 2

とー

特に問題は無いと思います。
ですが、わざわざ右側極限を取らなくても、x=1の時の関数が定義されているのでそれを使った方が自然だと思います。

あいり

ご回答ありがとうございます。
参考になりました🙇‍♀️