Question

𝕄𝕖𝕚(めい)

すごく詳しく教えて頂きたいです🙇🏻
「図形と数列の和」

1辺が1の正三角形をFとする。 F1 の各辺
を2:1に内分する点を結んでできる正三角形を
F2 とする。 以下,このようにしてつくられる正
三角形を Fn とし, Fn の面積を Sn とする。 この
とき S=S+S2+ ...... + Sn を求めよ。

数列 漸化式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

k

こんな感じで解きました
答えは間違ってる場合があります

三角形Fnの一片の長さをLnとすると
余弦定理より
Ln+1
=√{(2Ln/3)²+(Ln/3)²-2(2Ln/3)(Ln/3)cos60°}
=√(Ln²/3)
=Ln/√3

Ln+1 : Ln = 1/√3 : 1 より
Sn+1 : Sn = 1/3 : 1

よってSn+1=Sn/3
したがって、｛Sn｝は初項√3/4,公比1/3の等比数列なので
Sn=√3/4 × (1/3)^(n-1)

S
=Σ［k=1,n]Sk
=√3/4 × {1-(1/3)^n}/(1- 1/3)
=3√3 {1-(1/3)^n}/8

𝕄𝕖𝕚(めい)

ありがとうございます!!
助かりました🙇🏻