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最初getsなのは、三単現のsのルールが適用されるからですね。
①三人称(私が一人称、あなたが二人称、彼・彼女などが三人称)
②単数(1人・1つ)
③現在の文
以上3つの条件全てを満たす時は、動詞にsをつけるというものです。
my brother は、言い換えるとhe(彼)になるので三人称です。加えて、brothersにはなっていない＝1人ですし、現在の文です。よって、3つの条件を全て満たすのでsをつけます。
三人称ってなに？となったら、she、he、itのどれかに書き換えられるものと考えられたらいいです。
例えばhis cat＝itですし、Mr.White＝he ですので、いずれも三人称です。
で、過去の文がgotsにならない理由ですが、過去形にすると上の三単現の条件の③現在の文である、という条件を満たさなくなるからです。
未来の文・過去の文は、この「現在の文である」という条件から外れることから、どちらも三単現のsを外します。
なるほど！！！とてもわかりやすくありがとうございます！！(返信遅れてしまって申し訳ないです💦)