Question

み

√3が互除法であると仮定する解説が分からないのでどなたか解説していただきたいです。

A
答
詳解
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✓ 281 縦の長さが1, 横の長さが3である長方
形ABCD において, 長方形をできるだけ大
きい正方形で切り取れるだけ切り取る。 残
った部分の長方形も同様に,その長方形を
できるだけ大きい正方形で切り取れるだけ
切り取る。 右の図はこの作業を何回か繰り
返したときの図である。 この図の中にある長方形で, 長方形 ABCD と相似で
ある長方形を見つけ、それを用いて √3 が無理数であることを証明せよ。
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B
答
√3
F
G
E
HI
1
KLC
詳解
D
R
4

A
答
詳解
AE=AB=1より ED=√3-1
EF=ED=√3-1 より
281 縦の長さが1. 横の長さが3である長方
FH=FG=2-√3より
よ
HJ=(√3-1)-(2-√3)=2√3-3
HK: HJ = (2-√3) (2√3-3)
=1:√3=AB:AD
したがって, 長方形 ABCD と長方形 HKCJ は相似
である。
V3 が有理数であると仮定する。
このとき,2辺の長さが√3,1の長方形 ABCD を
1種類の正方形で敷き詰めることができる。
しかし, 正方形で敷き詰める操作の途中で長方形
よって
FG=1-(√3-1)=2-√3
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A
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√√3
2-√3
ABCD と相似な長方形が現れ, この長方形を正方形 B
で敷き詰めていく操作はいつまでも終わらない。
これは長方形 ABCD が1種類の正方形で敷き詰めることができることに矛盾する。
したがって, √3 は無理数である。
E
√3-1
F HI
GKLC
D

互除法 証明