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参考・概略です
nが2桁の自然数であるとき
√{300－3n}＝√{3(100－n)} が整数となる nを求める
負でない整数kを用いて、100－n＝3k² と表すことが出来る
【√{3(100－n)}＝√{3²k²}＝3k】
100－n＝3k² から、n＝100－3k²
k＝0 のとき、n＝100 ･･･ 3桁で不可
k＝1 のとき、n＝97
k＝2 のとき、n＝88
k＝3 のとき、n＝73
k＝4 のとき、n＝52
k＝5 のとき、n＝25
k＝6 のとき、n＝－8 ･･･ 負で不可
よって、n＝25，52，73，88，97
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確認
n＝97 のとき、√{300－3×97}＝√9＝3
n＝88 のとき、√{300－3×88}＝√36＝6
n＝73 のとき、√{300－3×73}＝√81＝9
n＝52 のとき、√{300－3×52}＝√144＝12
n＝25 のとき、√{300－3×25}＝√225＝15
以上から、n＝88，52 の２つが答えになります。
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私の解き方は、回りくどく重くなっています
なゆた さんの方法が簡潔でわかり易いと思います。m(__)m