Question

り

高校数学　二次関数
1枚目問題　2枚目解答(枚数の関係でまとめました、☆からで最後まで行ったら矢印のところに飛びます) 3枚目僕の回答

この問題文の理解自体が出来ていないのかもしれませんが、僕の回答の問題点を教えていただきたいです！
不変ではないということはその範囲内での反例？のようなものを一つでも出せば証明完了なのかと思いましたが、解答を見るとそうでもないのかとも思いました。よろしくおねがいします。

2. 区間[a,b] が関数 f(x) に関して不変であるとは,
「定義域が a≦x≦b ならば, 値域は a≦f(x)≦b」
が成り立つこととする.
f(x)=4x(1-x) とするとき,
(1) 区間 [0, 1] は関数f(x) に関して不変であることを示せ.
(2)0<a<b<1 とする. このとき, 区間[a, b] は関数 f(x) に関して不
変ではないことを示せ .
(九州大)

5√5
b-sty5.
8
同様にして, b=
2<√5 <3 から,
a<bゆえ, (a,b)=(B-25.5+√5).
8
1
4
<
10±√20
16
f(x)=4x (1-x)
5-√5 3
8
(1) において,
これは④に不適.
以上, (i), (), ()より, 0<a<b<1 のとき、 区間 [α, b] は関数 f(x) に関
して不変ではない.
2.
[解法メモ]
(1) は y=f(x) (0≦x≦1) のグラフをかけばお終い。
8
-<²2² (<1/1) wž,
8
(2) は f(x)がx≧1/12/2 において増加 1/12/x
1/12 の大小関係による場合分けが必要です。
【解答】
= −4(x − 1)² +1.
√5
8
x において減少ですから、a,b と
y=f(x) のグラフは, 右図の通りで,
定義域が 0≦x≦1 のとき値域は 0≦f(x) ≧1
[11]
y=f(x)
ゆえ,区間[0, 1] は関数 f(x) に関して不変である。
(2) 0<a<b<1のとき, 区間[a,b] が関数 f(x) に関して不変であるとす
る。 定義域が a≦x≦b のとき,
(i) 0<a<bs½ · ••• ① なら, f(x)の値域は
f(a) f(x) ≧f(b) ゆえ,
[a=f(a),
.b=f(b).
②から, 44²-3a=0.
(ii)
..
:. 4a (a-³)-0.
3
.. a=0,
これらは共に①に不適.
0<as<b<1 ...③ なら、
a=4a (1-a), ...②
b=46(1-b).
f(x)=(1/2)=1ゆえ,
b=1.
これは③に不適.
(m) 1/21<a<b<1.…..④ なら,f(x)の値域は
⑤ ⑥から、
f(b) f(x) f(a) ゆえ、
[a=f(b),
b=f(a).
..
..
a-b=4(b-a)-4(b-a)(b+a).
4(b-a) (a+b-5)=0.
ここで, a<bより, b-a≠0 ゆえ、
5
a+b- -1=0,すなわち, b=-
これを⑥へ代入して、
a=46(1-b), ...⑤
b=4a (1-4). ...⑥
5-a=4a(1-a).
5
4
-a.
.. 16a²-20a+5=0.
j(b)
f(a)
y
O: a
1
f(a)
S(b)
y
f(a)
J(b)
11
a
I
a
y=f(x)
y=f(x)
61
b

(2)
つまり、
0 < a ≤ x ≤ b < 1 ACE₁ ocasf(x)=b<1とは必ずしもならないことを示
示せばよい。
よって、
a> f(a) F. (0 < a
(720) - (530) =
a- (-4a²+ 4a)
ofe
つまり、
<
| Gizhuza)
図1
4a²-3a
= 4 (a - ² ) ² - 1 2
↓
図により、
=
Ocac1の範囲で
a> f(a) √3
部分が存在する。
0 <a ≤ x ≤ b < 1 ayt.
Ocasf(x)とくしは必ずしも成立しない。
0<a<b<1の範囲でで
区間[a、b]は関数に関して不変ではない。

二次関数 2次関数 数学 高校数学 プラチカ

Answer 1

豌豆

りさんの方針自体は正しいです。誤ってるのは、反例としてaを探していることです。
この問題の場合、0＜a＜b＜1を満たす"どんな"a,bに対しても、反例となるx(とf(x))があることを示す必要があります。

なので、解答例は背理法ではありますが、その気持ちとしては、0＜a＜b≦1/2...矛盾、0＜a≦1/2＜b＜1...矛盾、1/2<a<b<1...矛盾、ほら、0＜a＜b＜1を満たす"どんな"a,bに対しても矛盾するよね、だから[a,b]が不変という主張は成り立たないよね、と言おうとしているのです。

補足
一般的に、命題「PならばQ」の否定は「Pかつ(Qでない)」です。
この問題では、不変：「a≦x≦bならば(この範囲にあるどんなxに対しても)a≦f(x)≦b」ですので、不変でない：「a≦x≦bかつ(f(x)＜aまたはb＜f(x))(となるxがある)」となります。(ちょっと分かりづらいかもしれませんが、要するにa≦f(x)≦bとはならないxがa≦x≦bの範囲にあるということです)

ですから、(2)を直接示すのであれば、a,bを0＜a＜b＜1として固定して、その状況でa≦X≦bであってf(X)＜aもしくはb＜f(X)となるXを1個見つけてやればよいのです。