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Cu(NO3)2に注目。HNO3はここで2個使ってることが簡単に想像出来る。
そしてCuイオンはCu²⁺の通り2価の陽イオンで、
硝酸イオンはNO₃⁻の通り1価の陰イオン。
つまりCu:NO3は1:2で反応する。
Cuに付く係数が1であることと、Cu(NO3)2に付く係数も1である事が分かりましたね。
あとは地道なパズルです。NO2の方に注目。
NO2が1つ生成される度にHが1つ、Oが1つ余る。
さっき銅に対してHNO3を2つ使ったからHは2個余っている。
余りのHがNO2の余り1セットにつき1個ずつ入るから、H2Oは2個できる。このとき生成されてるNO2は2個。
よってH2OとNO2の係数はどちらも2です。
ここまでで使った硝酸は、銅との反応にて2個、副産物の反応にて2個(NO2が2個できてるからね)で、
合計4個。
よってHNO3の係数は4です。
(解いてみて気付いたこと)
HやOとかはあらゆるところに出てくるので、考えるのが大変です。この係数合わせのコツは、Cuなどほとんど出てこない元素から考えることです。
追記
NO2やNO3は確かにOが入ってるけど、これ自体を塊として見たら数えやすいのではないかと思います。
NGなのはH2Oの部分を一々考えることです。
あとパズルする時、それまでに分かってる余りを書き留めておいたら考えやすいかも。