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因為PA=PD=PC=4，
這說明了P點是△ACD的外心。
（外心性質：到三角形三頂點等距離。）
因為AD是該三角形外接圓的直徑，
得ㄥC其實就是直角。
所以，假設CD=x，則畢氏定理
AC = √64–x²
又cosㄥCDP = x/8
cosㄥBDP = [(2x)²+4²–8²]/(2×(2x)×4)
= (x²–12)/(4x)
那，這兩個角互補，於是餘弦值只差一個負號：
–x/8 = (x²–12)/(4x)
–4x²=8x²–96
12x²=96
x²=8, x=2√2
所以，BC=3x=6√2, 而AC=√64–8=2√14
△ABC面積就是 12√7。
另解：
由於 PB : PC = BD : CD = 2 : 1
所以 PD 為角平分線。
假設 ∠BPD = ∠CPD = θ，CD = x、BD = 2x，
只要能算出 △CPD 面積，
其他小三角形面積都可以經由邊長比例推導出來。