Question

とある数弱

①でy=sinhxと置いてて
下から3行目でy=logの式がsinhxの逆関数と書いてるんですがそれだと①とよりsinhx=log(x+√x^2+1)となりませんか？

複
(文
線
力
解析
量子
演習問題 5
双曲線関数 sinhxの逆関数 sinh-x は,
sinh-'x=log(x+√x2+1) と表されることを示せ。
ヒント! 1対1対応の関数y=sinhxのxとyを入れ替えて, x = s
これを,y=(xの式) の形に変形すると, この(xの式)が,逆関数 sine
になる。 (y=sinhx と y=sinh-x は, 直線y=x に対称なグラフになる。)
解答&解説
y=sinhx=
①は1対1対応の関数より,
xとyを入れ替えて
x=
44
et- ...... ① とおく。
2
両辺にYをかけて
2xY=Y2-1
Y=x±√x2+1
2
ここで, e'=Y とおくと, Y > 0
2x=Y - 1/
2x=e
Y
Y =
双曲線関数の逆関数
4/4
YẾN
【これをYの2次方程式と見る!
a
1. Y² - 2xY
sinh
2b
IL
-b'vb-ac
a
ここで,Y>0より, Y=x+vx2+1
よって,e=x+√x2+1
両辺は正より,この両辺の自然対数をとって,
loge=log(x+√x²+1)
1)=0
‥.y=log(x+√x²+1)
以上より,求める sinhx の逆関数 sinh x は,
sinh'x=log(x+v +1
.........
yi
10
O
y = sinhx
X1
Y=e"
x
yy=sinhx
0
y=x
y=sinh
X
ヒント!】
これを変
解答&
y=tanh
とおく。 ①
xとyを
x=(イ)
x=
e²y_
e²+1
(1-x) e²
(1より小
この両辺は
loge2=10
2y
=
-1/2310
log
以上より,
tanh-x=
解答(ｱ

Answer 1

リック

この問題については、双曲線関数として表したノートを公開してらっしゃいます。将にその通りの説明です。もし、宜しければ参考になると思います。

Answer 2

Crystal Clear

初めの方でxとyを入れ替えているので
入れ替えた前yはy=sinhxで後はsinhxの逆関数になっている。