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あってます。β崩壊にはいくつかの種類がありそれによって中性子が増えたり減ったりします。例えばC14（わずかだが天然に存在）は原子核の中性子が陽子に変わるのでNになります。
C11（人工的に発生させる）は原子核の陽子が中性子に変わるのでBになります。
ただ化学基礎の範囲では前者の例しか扱わないので、β崩壊は原子核の中性子一つが陽子に変化してこのときβ線（電子）を放出する。結果原子番号が1つ増えるという理解で大丈夫だと思います。
他にはα崩壊、γ崩壊も抑えておいてください。
崩壊が起こる理由はその原子の原子核が不安定だからです。原子核は陽子と中性子が強い力によって引き付けられています。この力は＋の反発力よりも強いので同じ電荷であっても集まることができます。この安定化は陽子と中性子のバランスが大事であり、バランスが悪いと崩壊を起こすことがあり、この崩壊を起こす同位体の事を放射性同位体といいます。β線などの放射性はこのときト放出される（安定になろうとして放出される）ものの事（目には見えない）を指します。
分かりやすい、丁寧な説明ありがとうございます！
ここらへん理解しにくかったのでとても助かりました！