Question

さこ

常用対数に関する問題です。
写真の黄色い部分から緑の部分までどうやって変換したのか分かりやすい言葉で説明して欲しいです！

なんとなく理解できる気がするのですが、やっぱり人に説明しようとすると途中でよくわからなくなってきます。。。

ちなみに10^47は1に0が47個ついてる状態ですが、
10^47.2329がどういう数字なのか私はまだよくわかってないです。

!
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基本例 183 常用対数と不等式
log130.4771 とする。
(1) 3 が 10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。
(2) 3進法で表すと 100 桁の自然数Nを, 10進法で表すと何桁の数に
指針
数≦Nくん行数
の形に表す
(1) まず.3° が 10桁の数であるということを不等式で表す。
⑩
…………… 改訂版チャート式基礎からの数学A 基本例題I
(2)
3100-1≦N < 100
不等式
進数Nの桁数の問題
10進法で表したときの桁数を求めるには, 不等式 ① から, 10″-N<W
に従って,問題の条件を不等式で表すと
たい。そこで,不等式 ① の各辺の常用対数をとる。
解答
!! (1) 3" が 10桁の数であるとき
各辺の常用対数をとると
ゆえに
9≦ 0.4771n<10
9
0.4771
各辺の常用対数をとると
10°≦3"<1010
9≤n logio 3 <10
よって
·≤n<.
したがって
18.8≦x<20.9...... 08
この不等式を満たす最小の自然数nは
niin=19
(2)Nは3進法で表すと100 桁の自然数であるから
3100-1≤N<3100 $125
10
0.4771
ゆえに
すなわち
よって 1047.2329 ≦N<1047.71
3⁹⁹ ≤N<3100
(mols +50
9910g103≦log1oN<100l0g103
Nがn
→
したがって, Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。
100.4771=3
別解 10g103=0.4771 から
ゆえに,399 ≦N < 3100 から
1047.2329≦N < 1047.71
よって
ゆえに
1047<N<1048
したがって, Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。
A
H
7
2 桁の整数
10-1<N<10
OK この不等式を満
は,n=19,20
「最小の」とい
るので, n=
99×0.4771≦log10N <100×0.4771
47.2329≤log10 N<47.71 Sorgol)07 = (US)orgol 07-Dorgol0
ゆえに 107 <N<1048
(100.4771)≦N<(100.4771) 100
<p=l
Serol)00:

常用対数

Answer 1

dio

指数法則で10^(a+b)=(10^a)×(10^b)が成り立つからですよ。

さこ

コメントありがとうございます。理解できました。

Answer 2

のの

47＜47.2329 , 47.71＜48　という大小関係で、
また10＞0なので(≦の向きはかわらず)、
10^47＜10^47.2329≦N＜10^47.71＜10^48　
と変形できます。
10^47＜(10^47.2329≦)N(＜10^47.71)＜10^48
（）の部分を除いても成り立つので、
最終的に、10^47＜N＜10^48　と変形できます。

さこ

コメントありがとうございます！
変形は理解できたような気がします😊

また聞いてしまって申し訳ないのですが10^47.2329てどういう数字なんでしょう。。🧐
たぶんそんなことがわからなくても解けると思うのですがイメージだけでも教えてくれると助かります。

のの

10^47.2329は1.70962161×10^47
ですので、
10^47(1.0×10^47)よりでかいですね

さこ

10^47より大きいことは知っています！
でもなぜ1.70962161×10^47になるんでしょうか？

のの

計算機でやってみてください!

さこ

なるほど。ありがとうございます。