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startの場合、後ろがto不定詞でも〜ingでも「〜し始める」という訳になるので、日本語にしちゃうと違いはないんですけど、それでも微妙な違いがあります。
既に説明しているネット記事がたくさんあるので
https://naminorism.com/start-to-do_start-doing/
https://3040english.info/gerunds-infinitives/
https://mickeygo.exblog.jp/8493067/
https://study-z.net/27877#h26
ここらへんを参考にしながら傾向をまとめると
to 不定詞の場合は
・これから行動に移ろうとしているところ
・そのときたまたま行う動作をし始める
・自然現象やふとした心の動きなど、予定に無かったこと
・行為そのものが継続しない場合もある
〜ingの場合は
・既に動き出している感じ
・習慣的な動作を、し始める
・すでに開始していることや、その後も継続しているような動作の開始
あくまで傾向としてですけど、こんな感じのニュアンスの違いがあるんですね。
この文章だと
Suddenly, he（雄のライオン） started to run towards them.
ライオンが急に向かってくるのは
・予定になかったこと ・たまたま起こること
・継続しない動作（一瞬なので）
〜 started licking his face
ライオンが Aceの顔を舐めるのは
・（おそらく）習慣的な動作（懐いていないとしないだろうから）
・それがある程度継続することが予想される動作
というような感じで、説明したようなニュアンスの違いが読み取れます。
ほんっっとにわかりやすいですありがとうございました🥹🙏🏻