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細菌なので、原核細胞（いわゆる核が無い細胞）でできた原核生物であるところは共通ですが、できることが異なっている、といったところでしょうか。
光合成細菌は、文字通り光合成ができる細菌です。植物でないのに光合成をしてしまう特殊（人間から見ると）な生物です。
代表的なものは、シアノバクテリアです。
好気性細菌は、酸素を使って生きる（エネルギーを作る）細菌です。
高校生物では特に代表的な生物名は出てきません。
ちなみに、酸素は細菌にとって有害な場合が多く（オキシドールで傷口を消毒するのは、発生する酸素に殺菌作用があるから。弱いけど）、酸素が無くても生育できる種類の細菌を嫌気性細菌といいます（酸素が嫌い）。
遅くなりすみません、、
とてもわかりやすくありがとうございました！