Mathematics
มัธยมปลาย
これの(3)でy'=0でないのにx=0で極値を取るってところが解説読んでも詳しくわからないです詳しい方教えてください
基本例題176 関数の極値(1)…基本
CHART)関数の極値 yの符号を調べる 増減表の作成
船>関数の極値 を求めるには,次の手順で増減表 をかいて判断する。
301
OOO0
次の関数の極値を求めよ。
) y=(x-3)e-*
(3) y=|x\Vx+3
ーズ
【類甲南大)(2)y=2cosx-cos 2x (0<x<2x)
Ap.298, 299 基本事項(2, [3, 基本 175
1 定義域,微分可能性を確認する。
2 導関数yを求め,方程式ゾ=0 の実数解を求める。
aV=0となるrの値やy'が存在しないxの値の前後でyの符号の変化を調べ。
明らかな場合は省略してよい。
6章
25
増減表を作り,極値を求める。
解 答
0y=2xe-*+(x°--3)(-e-*)=-(x+1)(x-3)e-*
y=0とすると x=-1, 3
g 増減表は右のようになる。
(1) 定義域は実数全体であり、
定義域全体で微分可能。
x
-1
3
6
0
0
よって =3 で極大値
e
極大
極小
ノ
-2e
=ー1で極小値 -2e
ー3 0
y
6
V3 3
x
-3
-2e
(2) ゾ=ー2sinx+2sin2x=-2sinx+4sinxcos x
=2sinx(2cos.x-1)
0Sx<2xの範囲でゾ=0 を解くと
42倍角の公式
sin2x=2sinx cos.x
sinx=0 から
x=0, π, 2元,
メー
5
-π
3' 3
2cosx-1=0 から
π
X=
Iよって,増減表は次のようになる。
5
π
3
4yの符号の決め方につい
ては、次ページ検討を参
π
x
0
π
2元
3
照。
0
0
0
極大
3
極大
極小
y
1
3
1
-3
2
2
したがって x=
5
-πで極大値
3' 3
3
;x=r で極小値 -3
2
(3) (x)=lx\\x+3とする
flx)-f(0) -+3
と lim
x-0
) 定義域はx2-3である。
(複号同順)
=0
リのとき,y=x/x+3 であるから,x>0では
3(x+2)
2/x+3
lim
よ→ー3+0
よって,f(x) はx=0,
x=-3で微分可能でない
が、x=0 では極小となる。
x
ゾ=/x+3 +
2/x+3
ゆえに,x>0では常に
ゾ>0
CS CamScannerでスキャン
3 E数の値の変化、最大·最小|
302
-3Sx<0のとき,y=-x\r+3 であるから,-3<r<o
3(x+2)
2x+3
y=0 とすると
では y=-
-3
-2
0
x
0
x=-2
増減表は右のように
なる。
極大
0
極小
y
2
よって
=-2 で極大値2, x=0 で極小値0
(検討)(2)の導関数yの符号の決め方
(2)の導関数の符号は,次のようにして考えるとよい。
ゾ=2sinx(2cos.x-1)であるから,y>0となるのは
sinx>0
sinx<0
1
COSx>
2
または
のとき。
COSXく
O~のを図に示すと,次のようになる。
の
4y
の
4y
4y
5
3%
2元
のかつのから 0<xく,@かつのから くx<
が得られる。
また,ゾ<0となるのは 0かつ@ または 2かつ であるから、同様にして
くく2
以上から <x<、くょくのとき >0
rのときy<o
のかつのから くxく元,のかつのから
が得られる。
y20となる範思の
補集合と考えてもよ
くょく。くよく2
(検討)微分可能でない点での極値
(3)において,x==0のときyの値が存在しない。しかし,極値の定義
x=aを含む十分小さい開区間において
*キa ならば f(x)<f(a)
[または f(x)>f(a)]
に従うと,yの値が存在しないxの値であっても,その前後でyの符号が変われば、そこ
値となる。このように,微分可能でない点でも極値をとることがあるので注意しよう。
練習
次の関数の極値を求めよ。
176| (1) y=xe-*
3x-1
(2) y=
x*+1
x+1
(3) y=
x+x+1
(4) y=(1-sinx) cosx (0Sx<2x)
(5) y=Ixl/4-x
(6) y=(x+2)-x?
CS CamScannerでスキャン
p.324 EXISA
「T
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