Question

いおり

標本分散と不偏分散について質問です。

僕のイメージだと、標本を取ると、数が散らばり、分散が正しい値より大きくなるイメージがあります。

しかし、実際不偏分散を計算するときは、標本分散に1より大きい数字おを掛けてもっと大きな値にします。

なぜこうなるのか、説明をお願いできませんか？
イメージの指摘、数式を使ったゴリゴリ解説、どちらでも大丈夫です。お願いします。

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統計

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ウンウントリウム

感覚的には標本分散の期待値は母分散よりも小さくなる気がします。
標本分散の計算では母平均ではなく、標本平均が用いられます。当然母平均より標本平均の方がそのサンプルにフィットしているはずなので、標本平均との差(偏差)の二乗和は小さく見積もられます。
したがって標本分散は母分散よりも少し小さく評価されてしまうはずです。

数式でも証明は可能です。

ウンウントリウム

一応数式証明の途中まで
ネットにもっと分かりやすく載っているかもしれません。

いおり

本来？(不偏分散のとき)だったら、母平均を用いて求めるはずなのに、よりフィットしてる標本平均を用いて計算するため、ずれが小さくなってるってイメージですか？変に言い換えてすみません

ウンウントリウム

不偏分散の時も用いるのは標本平均ですが、標本分散の期待値が母分散と一致する(不偏性を有する)ように修正したものを標本不偏分散(不偏分散)と言います。
仰っているように、サンプルは標本平均に対して散らばりが小さくなるので、それを修正するように標本分散にn/(n-1)倍します。

いおり

ありがとうございます！大変助かりました‼︎