Mathematics
มหาวิทยาลัย
半径 1 の球に外接する正四面体の高さに関してですが
https://kamelink.com/public/2019/9.6-19%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E9%96%93%E7%A7%91%E5%AD%A63.pdf
BM : HM = 3 : 1 になるのはどうしてでしょうか？
【解答)
半径1の球の中心をIとし,外接する正四面体を ABCD と
する。
点Aから平面 BCD に垂線 AH を下ろすと, Hは ABCD
の外心であり,ABCD は正三角形であるから重心でもある。
BH の延長と辺 CD の交点をMとすると,M は辺 CD の中
点であり,Iは平面 ABM 上にある.同じく,CH の延長と辺
BD の交点をLとすると,L は辺 BD の中点であり,Iは平面
ACL 上にもあるから,Iは AH 上にあり,BI I AM である。
A
D
M
B
H
BM:HM = 3:1かつ AM = BM
C
だから
AM:HM = 3:1
A
である。IM は ZAMH の二等分線であるから
AI:IH = AM:MH = 3:1
よって,正四面体の高さ AH は
AH = 4× IH= 4
(答)
である。
B
H
M
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