Question

あんず

中三の相似の問題です。
解き方を教えてください！🙇‍♀️🙏

右の図のように, AD//BC の台形 ABCD で,
A
-6cm--D
対角線の交点Pを通り BCに平行な直線をひき,
AB, DC との交点を,それぞれ, Q, Rとします。
R
P
(1) △PDAの△PBC であることを証明しなさい。
(2) PQ, QR の長さを求めなさい。
B
C
-9cm--
(3) APDA と APBC の面積の比を求めなさい。
また,△PBC と△PDC の面積の比を求めなさい。
台形 ABCD の面積は,△PBCの面積の何倍になりますか。

相似

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

なっし

(1)△PDAと△PBCにおいて
AD∥BCより
錯角は等しいから∠PDA=∠PBC，∠PAD=∠PCB
2つの角が等しいので△PDA∽△PBC

(2)△PDA∽△PBCなのでAD:CB=6:9=2:3
よってAP:CP=2:3,DP:BP=2:3が成り立つ
QR∥BCなので△APQ∽△ACBで、相似比は
AP:CP=2:3よりAP:AC=2:5
よってQP:BC=2:5なのでQP:9=2:5→QP=18/5
同様に、PR:BC=2:5→PR:9=2:5→PR=18/5

(3)△PDA∽△PBCで相似比は2:3より、面積比はその2乗比なので4:9
△PBCと△PDCは底辺PBと底辺PDが同一直線上で頂点Cを共通とする三角形なので面積比=底辺比
よってその面積比は3:2

(4)(3)と同じ考えで
△PBC:△PAB=3:2
(3)で求めた面積比を列挙すると
△PDA:△PBC=4:9
△PBC:△PDC=3:2=9:6
△PBC:△PAB=3:2=9:6
まとめると
△PBC:△PDC:△PAB:△PDA=9:6:6:4
よって
△PBC:台形ABCD=9:25 答え25/9倍

あんず

丁寧にご説明ありがとうございました！
質問なのですが、
(4)の△PBC：△PDCの相似比が3：２なのに、面積比が9：6なのはなぜですか？
△PDCの面積比は、2の２乗で、4ではないのですか？

なっし

面積比が相似比の二乗になるのは二つの図形が相似の時だけ。
△PBCと△PDCは相似ではないので当てはまらない。
頂点が一緒で底辺が同一直線上にある場合、底辺比が面積比になる。この場合底辺はPBとPD

あんず

返信が遅れてしまいすみません💦
そうだったんですね！
ありがとうございました🙇‍♀️🙇‍♀️