Question

魚見さん

青枠で囲まれているように、①と②の範囲で
h'（t）＝0を満たす、tが存在する理由を教えてほしいです

5.2
【授業用問題)
a>1とし,次の不等式を考える。
et -1
Ne
t
(1) a=2のとき,すべてのt>0に対して上の不等式(*)が成り立つことを示せ。
(2) すべてのt>0に対して上の不等式(*)が成り立つようなaの範囲を求めよ。

(C-1)=
a
a-1
1
となり,Oより1-->0, ン1
2 である。
a-1
a
のより,
となる正の実数t (toとおく)
a-1
がただ1つ存在する.以下,0<tくto
-③ で考える。
この区間でん()<0 なのでん(t)は減少し,h(0)=0
とあわせて,h(t)<0, つまり(t)<0 である.よっ
て,f。(t)は単調減少で,f。(0)=0なので,③において
fa(t)<0 となる。 したがって, 不適である。
以上より,求める範囲はa22 である。

Answer 1

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peekAboo

指数関数のグラフを書いてみてください。よくわかると思います。
式で説明すれば以下の通りです。

b=1-1/aとすると
e^(bt)
はtに関して単調増加する関数で、
値域は(0,∞)となる。

よって、e^(bt)=c, (c>0)となる
t=t_0がただ一つ存在する。