Question

しらたま

nを整数とするとき、n³－4n は3の倍数であることを証明せよ。

解き方を教えてください🙇‍♂️

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ち

因数分解すると(n-2)ｎ(ｎ＋2)となり必ずどれかが3の倍数になります

Answer 2

ブドウくん

まず、因数分解できるので、因数分解すると
n(n+2)(n-2)=(n-2)n(n+2)となります。
この段階でとりあえず実験してみます。
n=0のとき(-2)×【0】×2
n=1のとき(-1)×1×【3】
n=2のとき【0】×2×4
n=3のとき1×【3】×5
n=4のとき2×4×【6】
n=5のとき【3】×5×7
n=6のとき4×【6】×8
n=7のとき5×7×【9】
n=8のとき【6】×8×10
n=9のとき7×【9】×11
このように3の倍数の場所が3周期で繰り返しているので、nを3で割った余りで場合分けしていきます。

合同式を使うやり方とそうでないやり方を併記しておきます。
n≡0(mod3)のとき(-2)×0×2≡0
n=3kのとき、3×{k(k-2)(k+2)}

n≡-1(mod3)のとき(-3)×(-1)×1≡3≡0(mod3)
n=3k-1のとき3×{(k-1)(3k-1)(3k+1)}

n≡1(mod3)のとき(-1)×1×3≡-3≡0(mod3)
n=3k+1のとき3×{(3k-1)(3k+1)(k+1)}

ブドウくん

別解
n³-4n
=n³-n-3n
=(n³-n)-3n
={(n-1)n(n+1)}-3n
{(n-1)n(n+1)}は連続する3整数より6の倍数だから整数kを用いて6kと表せるので6k-3n=3(2k-n)

こっちの方がはやいですね。