Question

ア

（3）のXとYの求め方が分からないです。教えて頂きたいです！！

解答としてはX＝√5 Y＝2√5 です。

共通テスト 対策問
題
10を原点とする座標平面上において, 円ポ+パ=25 をCとし, 直線エ+2y=kを1とする。
ただし,kを定数とする。次の間いに答えよ。
(1) 円Cと直線1が共有点をもっための必要十分条件は, 次の条件か, qのいずれかが成り立つっことである。
+パ=25
p:連立方程式
が実数解をもつ
e+2y=k
9:原点0と直線1の距離がア ]以下である
p, qのいずれかの条件を用いることにより, 円Cと直線1が共有点をもつようなんの値の範囲は,
-[イ]ウ]Sk<イ]ウ
と求められる。
(2) tを実数とし, Cと1の式からつくられる方程式(+ザー25) +t(x+2y-k)=0 において,
k=10 のとき,(2°+パー25)++(x+2y-10)=0 … A).
k=20 のとき,(2°+ぴ-25) +t(x+2y-20)=0 (B)
である。
これらの方程式の表す図形について考える。
まず,方程式(z+パ-25) +t(x+2yーk)=0 を変形すると
オ
(++ ++が-25+か+
エ
カ
となる。
右辺の正負に注目すると,
(A)の方程式が表す座標平面上の図形は,
キ
(B)の方程式が表す座標平面上の図形は,
ク
キ」
クには正しいものを次の①~①のうちから一つずつ選べ。
0 tの値にかかわらず, 円である。
0 tの値にかかわらず, 存在しない。
② tの値に応じて, 円であるときと, 1点であるときの2種類がある。
3 その値に応じて, 円であるときと, 図形が存在しないときの2種類がある。
④ tの値に応じて, 円であるとき, 1点であるとき, 図形が存在しないときの3種類がある。
(3) 円C上を動く点Pがある。
点Pの座標を(X, Y)とするとき, 次の(i), (i)のX, Yの式について調べよう。
iX+2Yのとり得る値の最大値を求める。
(1)の結果を用いると, X+2Yの最大値は イ ウ」であり, このときのX, Yの値は,
X=|ケ], Y=コ]| サ
である。

共通テスト対策問題
(B)において,k=20 より
D=400-125=275>0
P.134~P.141|
1 (1) ア. 5, イ. 5, ウ. 5
(2) エ. 2, オ. 5, カ. 4, キ0,ク.4
(3) ケ.5, コ.2, サ. 5, シ. 0, ス. 4, セ. 3
解説(1) [条件かを用いた解法)
よって,P+kt+25 は正, 0, 負いずれも
ありうる。
すなわち,(B)が表す図形は, tの値に応じ
て円であるとき, 1点であるとき, 図形が存
在しないときの3種類がある。 (④)
(3Xi) [条件かを用いた解法]
X+2Y=k とおくと, kが満たす条件は,
|+パ=25 …0
エ+2y=k
……の
のより, エ=Dk-2y
これを①に代入すると
(k-2g)?+=25
5y-4ky+(k?-25) =D0 ③
連立方程式の, 2が実数解をもつための条
件は,3の判別式をD, とすると
X*+Y°=25
X+2Y=k
連立方程式
が実数解をもつ
ことであり,(1)の結果から, このときの
kの最大値は5/5 である。
(1)の3より
5Y?-4kY+(k-25) =D0
k=5/5 のとき,この方程式は重解をも
D
ユ=4-5(-25) 20
4
ーR+12520
(k+5/5)(k-5/5)<0
-5/5<k<5/5
[条件qを用いた解法)
原点0と直線!の距離をdとすると
ち
レメ-5/5-2/5-
2k」
Y=-
X=k-2Y=5/5-4/5= 5
[条件qを用いた解法)
X+2Y=k とおくと, kが満たす条件は,
円C:+y=25 と直線/:エ+2y=kが
共有点をもつことであり, これは, 原点0
と直線1の距離が5以下になることである。
(1)の結果より, -5/5<k<5/5である
から,kの最大値は 5/5 である。
k=5/5 のとき, 円Cと直線は接する。
このときの接点は, 2直線エ+2y=5/5,
y=2x の交点であるから,その座標は,
d=
V+2 5
円Cと直線1が共有点をもつための条件は
dS(円Cの半径5)
であるから
K5
V5
|S5/5
よって,-5/5SRS5/5
(2)(+パ-25) +t(z+2y-k) =0 を変形する
と
したがって,最大値5/5 をとるときの
X, Yの値は,
X=5, Y=25
(+z)+(ぴ+2t)%3D25+tk
(+)++0"=25+k+
+2
Y-1
文ー7は,2点(X, Y), (7, 1)を通る直
(z+)+(y+=25+kt+}
…8
線の傾きに等しい E
この傾きが最大になるのは, ①のときで
において, -+kt+25=0 の判別式を
5
ある。
D, とすると
Y-1
D:=R-42-25=ピ-125
ーテーかとおくと
Y-1=p(X-7)
DX-Y-7p+1=0
円Cの中心と直線 mの距離が円Cの半
径5に等しいから
(A)において, k=10 より
D:=100-125=-25<0
よって, 常に, そ+kt+25>0であるから,
(A)が表す図形は, tの値にかかわらず円であ
-=5
が+1
1-7p+1|=5が+1
両辺を2乗すると
る。

円と直線