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密度作用素はエルミート作用素だから、1ページ目にある通り、独立な実パラメーターはn^2個。
さらに対角和が1だから対角成分たちに束縛条件が1つ加わりn^2-1
Physics
มหาวิทยาลัย
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マーカーのn²-1はどのようにわかりますか？
とと,エルミート性のかわりに, 対称性 (A, B)p = (B, A)F が成り立つことです。
実ベクトル空間の内積が複素ベクトル空間の内積と違う点は,実数値をとるこ
が直接わかるわけではありません. ここでは量子トモグラフィー, つまり量子状
そのためには, いくつかの種類の測定をしなければなりません. どのような測
多数回測定によってわかるのは, あるオブザーパブルの平均値だけなので, 状態
状
態を決定することを考えます。
定を行えば量子状態を決定できるでしょうか。
■ 4.1 密度作用素の空間
n次元複素ユークリッド·ベクトル空間H上の密度作用素全体のなす集合Dens
の構造をもう少し考えてみます. 密度作用素はエルミート作用素なので, エルミー
ト作用素全体のなす集合 Herm に目を向けてみましょう.
Herm は実ベクトル空間です. 次元はn次のエルミート行列のパラメータの数を
数えればよくて,対角線にn個の実パラメータ,それ以外のところにn(n-1)/2個
の複素パラメータがあるので, n° 次元になります.さらに、実ベクトル空間 Herm
に内積を定義しておきます。
(定義)エルミート作用素の内積
A, B をエルミート作用素とするとき, 内積( , )= : Herm × Herm → Kで
(A, B)F = Tr(AB)
と定義する。
また,第1スロット, 第2スロットの両方に関して実線形です。
ミ
密度作用素が正作用素だという性質は, すべてのWEHに対して
トル空間になります. 正規直交基底のもとでは,
が何をみたことになっているのか, 幾何学的に捉えてみましょう。 密度作用素は,
多数回測定によって, オブザーバブルの測定値の平均値がわかるのですが, これ
こうして,Herm は内積をもつ実ベクトル空間, すなわち実ユークリッド·ベク
密度作用素の空間
63
「n
(A, B)p = 2 Aji Bij = > Aj Bj
こ,
n
も,j=1
i,j=1
です。複素数にみえるかもしれませんが、
(A, B)r => Ait Bit+ 2 (Asj Bij + As, Bj)
=1
1くi<j<n
と並べ替えると実数値だとわかります。
トレースが1だということがわかっています。 おかげで,2つの密度作用素の和を
とると密度作用素でなくなります。 そこで、
1
W°:=W-L」
n
を密度作用素のゼロ ·トレース部分ということにします。
(定義)密度作用素のゼロ·トレース空間
密度作用素のゼロ· トレース部分全体のなす集合を
{wre
Dens° =
N° E Herm|W°+-1EDens
三
n
と書き,密度作用素のゼロ·トレース空間という.
Dens°は Herm 内で Dens を (-1/n)Iだけ平行移動したもので, (n°-1) 個の
実パラメータをもつ, Herm の凸空間になっています (図 4.1).
番度作用素は,トレースが1の正作用素ということで特徴付けられていました。
そのゼロ.トレース部分のみたすべき性質として言い換えてみましょう.
世度作用素についてのトレースが1だという性質は, トレースがゼロという性
質に置き換わります. これは,
Tr (W°) = (W°,1)Fr =0
と, Herm の内積の形で表せます.
雷度作用素が正作用素だという性質は、すべてのゆEHに対して
2,-)2
n
(v, W°w) = (w, W)- (切ニル
n
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