✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
まず、no + 名詞 は肯定文でも、その名詞のものがゼロであるという意味になります。ここでは、「疑いがない no doubt 」だから「確信している」になっていますね。
notを使うとしたら、I don't have any doubt〜 と言い換えられます。anyは「ほんの少しでも（あるなら）」という意味あいで、それがnotなので、ただなんとなく無いと言ってるのではなく「ゼロ」と言ってます。
doubt という単語は、後ろの部分に 「どんな疑いなのか」という説明が来ます。
I have no doubt that this rlng is an imitation.
「私は、この指輪がニセモノだ【という】確信を持っている」
このthatは接続詞で、同格のthatと言います。関係代名詞のように、前の名詞を後ろから修飾しますが、関係代名詞ではありません。
そして、同格のthatに限らないのですが
that SV のまとまりは、of 動名詞のまとまりに書き換えることができます。以下で手順を説明します。
that this rlng is an imitation.
以下の手順を実行してみてください。問題文のof〜が出来るはずです。
① thatをof に変える。
② 動詞を動名詞にする（ここではis→being）
動名詞は〜ing形で「〜（する）こと」と訳す。この文はbe動詞なので「〜であること」
③ 文全体の主語と、that節内の主語が違う場合だけ、動名詞の前にthat節内の主語を書いてあげる
④ 残りの部分をそのまま同じ位置に持ってくる
書き換えただけなので、訳し方は全く同じです。
先程のthatと同じで、このof〜は同格のofと言って、「〜という」と訳します。
たぶん訳しやすいのはthat節のほうだと思います。
割と多くのthat節がof〜で書き換えられるのですが、ofを使うと直訳しにくくなります。
逆に直訳だと意味のわからないofを見つけたらthat節で書き換えると上手く訳せることがあります。
とてもわかりやすいです！ありがとうございます‼︎
追記です
答えのof this ring being an imitation の方を解説しておきます
being an imitationは「ニセモノである【こと】」ですよね。beingの意味上の主語（何がニセモノなのか）は this ringです。
そしてこの文全体の主語は I ですよね。
動名詞の意味上の主語が、文全体の主語と違うときは、
動名詞の前に意味上の主語を書いてあげるんです。（さっきの手順③）
なので、
this ring being an imitation で
この指輪が ニセモノであること となるんです。
I have no doubt （疑いがない）
後ろに同格のof〜（〜という）をつけて、動名詞のまとまりを持ってくれば
I have no doubt of this ring being an imitation.
この指輪がニセモノである、という疑いがない（=確信を持っている） となります