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これは微積分学の基本定理の線積分バージョン(多変数関数バージョン)です。
1変数の場合は
U'(x)=f(x)
⇔
U(x)=U(0)+∫[0,x]f(t)dt
多変数の場合は,r=(x,y,z)として(rはベクトル)
∇U(r)=F(r)
⇔
U(r)=U(0)+∫γ[0,r]F(u)・du かつ rotF=0
ここで∫γ[0,r]F(u)・duは始点が原点0,終点が積分経路γに沿ったFの線積分を表す。
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画像にある式について
数学ではポテンシャルをF=∇Uと定義するが、物理ではF=-∇Uと定義する。
原点でのポテンシャルを0としている。U(0)=0。本来はU(0)の項を加えなければならない。
積分経路γを原点0からrまでの直線経路にとっている。φ(k)=kr。
⇔にするには下式にrotF=0の条件を加えないといけない。
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証明
wiki(英語版)
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem
拾いものpdf(ただし逆の証明はない)
http://www.math.keio.ac.jp/~iguchi/Lectures/pdf/2013/Note_MA_12.pdf
ありがとうございます🙌