Question

ブドウくん

化学の宿題ですが、数学だと思います。

(a) d/dx, (b) d²/dx² を関数(i)~(vi)に作用させたとき、どの関数が(a),(b)に対して固有関数となるか、述べよ。

この問題の意味がわからないのです。Yahoo知恵袋の類似質問では、微分するだけだろと書かれていたのですが、xで一階微分, 二階微分してもその形が変わらない関数を選べということですか？微分方程式とか書いてあったのですが、まだやってません。

ちなみに、
(i)eのax乗
(ii)eのax²乗
(iii)x
(iv)x²
(v)ax+b
(vi)sin(ax)
です。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Crystal Clear

線形演算子Aに対して、
A f(x)=λf(x) for∀x
となるような0以外の数λが存在するとき、λを固有値、f(x)を固有値λに対応した固有関数という。

関数fに演算子Aを作用させると新しい関数Afが得られるが、これがもとの関数fの0以外の定数倍であるとき、fを固有関数といい、その定数を固有値という。
今回は(a)1階微分(b)2階微分　して元の関数の0以外の定数倍になるか確認していけばいい。

Crystal Clear

固有値、固有ベクトルは線形代数で学ぶと思いますが、関数が成す空間もベクトル空間になるので同じ用語を用います

ブドウくん

なるほど、最初の数行が正直難しくてわからなかったのですが、何をすればよいのかはわかりました。
ということは、(a)の答えは微分してa倍になる(i)と2倍になる(iv)ですよね。

Crystal Clear

訂正
0以外の定数倍と書いてしまいましたが、誤りです。λは0もOKです。f(x)=0以外が正しいです。

(iv)は2倍ではないですよ。
x^2と2xですから、定数倍ではないです。

ブドウくん

確かに、2倍じゃないですね。
これで(b)も解けそうです。解答していただいてありがとうございました。