[ア:正しく述べたもの]
ア:∠OCA=60°だった場合、三平方の定理よりAC:CO:OA=1:2:√3の関係が成り立つはずだけど、AC:OA=4:6=2:3より、1:√3の関係になっていないから誤り！
イ:BA⊥CA、OA⊥CAなどから、面OABと面OACは垂直であると分かる！
ウ:面ABCに垂直な辺はOAに垂直な辺。OCとOAには垂直でないため、誤り！
エ:OAと平行な辺は、ACに対して垂直でなければならない。CDはACに垂直でないから、誤り！
[イ:BPの長さ]
三角錐OABCを①、三角錐DBCPを②と呼びます！
2つの三角錐の体積比は、高さの比、底面積の比と同じである、ということをを利用します。
まずは高さの比について考えると、DはOBの中点である、ということから、①と②の高さの比は2:1である、ということがわかります。
①の体積をV、①と②の面積比をx(分数)と置くと、｢V×1/2×x=②の体積｣、となるのはイメージできますか？(1枚目の画像を参考にしてください！) この式で、②の体積が1/3Vとなるxを探せばよいです！
計算すると、xは2/3となり、②の底面積は①の底面積の2/3といういことがわかります！
この問題ではBPの長さを求めるのですが、今回はABからAPを引く、という方法を使います。
APの長さを求めるため、まずは△CPAの面積を求めます。△CPAの面積は△ABCの1/3ですから、△CPA=(8√3)/3cm²となります。(途中式は3枚目の画像を参考にして下さい！)
△CPAでACを底辺と考えると、4×AP×1/2=(8√3)/3という式ができ、これを解くとAP=(4√3)/3となります。△ABCの面積を求めるときにABの長さは4√3と求めましたので、ABからAPを引いてPBの長さが求まります！
A.BP=(8√3)/3cm
