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とりあえず（8）です。（10）は後で送ります
このまま計算していくと4つ見つかると思うのですが、あらかじめ個数はわからないため、解いている時点で4つ以上ないという確証がないと思います。もしかしたらまだあるかも…と計算していっても終わりません。
まだよく分からないのでもう少し教えてください。
ご丁寧にありがとうございます。助かりました。
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10番だけ説明します。
整数の問題を解く際の方針として「積の形に直す」というのがあります。式を掛け算の形にすることが因数分解なので、因数分解できる形に無理矢理持っていこうと考えます。
√(120+a²)=k (kは正の整数) ...(＊)
と置きます。
両辺を2乗して
120+a²=k²
k²-a²=120
(k+a)(k-a)=120
これで積の形になおりました。しかし、120の約数はたくさんあるので、すべて調べるのは困難です。そこで(k+a)と(k-a)の組の絞り込みを行います。
まず2つを足したときに
(k+a)+(k-a)=2k (kは正の整数)
となります。つまり、2つの和が偶数になる必要があります。
例えば、k+a=120とk-a=1の組み合わせも掛け算すると120となりますが、120と1を足したら121となり、奇数なので不適です。実際、k+a=120とk-a=1を解いたらk=121/2, a=119/2となり、整数とはなりません。
次に大小関係で絞り込みます。aは正の整数なので、k+aとk-aではk+aの方が大きく、k-aの方が小さいです。だからk+a=2とk-a=60なんかも掛けたら120ですが、不適です。実際にこのときk=31,a=-29となり、aが負の数になります。
これを踏まえたら考えられるk+aとk-aの組は
(k+a,k-a)=
(1,120), (2,60), (3,40), (4,30), (5,24), (6,20), (8,15), (10,12)は大小関係より❌
(15,8), (24,5), (40,3) (120,1)は足したら奇数より❌
なので
(12,10), (20,6), (30,4), (60,2)のみとなります。
よって答えは4個ですが、一応それぞれaの値を出しておきます。それぞれ連立方程式を解けば
k+a=12, k-a=10 ... k=11, a=1
k+a=20, k-a=6 ... k=13, a=7
k+a=30, k-a=4 ... k=17, a=13
k+a=60, k-a=2 ... k=31, a=29となるので
題意を満たすようなaは1,7,13,29の4個
長々と書かせてしまいすみません💦助かりました、ありがとうございました。
ข้อสงสัยของคุณเคลียร์แล้วหรือยัง?
เมื่อดูคำถามนี้แล้ว
ก็จะเจอคำถามเหล่านี้ด้วย😉
理解しました！ありがとうございます