✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
まず前置詞がいる動詞と要らない動詞を比べます。
要る:go to Tokyo｢東京へ(に)行く｣
要らない:visit Tokyo ｢東京を訪れる｣
このように、基本的には｢～を｣と訳す場合は
動詞に｢～を｣という意味が含まれるので
前置詞は要りません。
直後に名詞(のかたまり)を置けばOKです。
前置詞が要る場合は基本的に｢～へ、に、と、で｣など
｢～を｣以外の時です。
(あくまでも基本的にですが、前置詞で｢～へ｣などの意味を表現します。)
goは｢～へ行く｣という使い方なので
前置詞+名詞が必要です。
次にstayの意味は｢滞在する｣ですが
基本的な使い方は｢～に滞在する｣なので前置詞が必要です。
stay in Tokyo｢東京に滞在する｣
しかし質問のように
前置詞が要るはずの動詞でも使わない事があります。
それがhome, here, thereなどを使うときです。
(これらは副詞と言います)
home｢家に｣
here｢ここに｣
there｢そこに｣
これらには｢～に｣という意味が含まれているので
｢～に｣を表す前置詞が不要になり
stay home｢家にいる(=滞在する)｣
stay here｢ここにいる｣
stay there｢そこにいる｣
と表すことになります。
stayがgoやcomeに代わっても同じです。
長くなりましたが、お力になれれば嬉しいです。
(homeとstayを書き間違えたので一度削除しました。)
追記 :
他の方が回答されている内容の通り
homeには副詞以外に名詞の働きもあります。
(双子のみたいに同じ見た目だけど違うものって感じです。)
そのため
stay home｢家にいる｣(副詞 : 家に)
stay at home｢家でいる｣(前置詞+名詞 : ～で+家)
の2通りの使い方があります。
前の回答者さんのおっしゃっているニュアンスの違いは、日本語にも現れています。
(日本人は｢で｣と｢に｣の違いを意識しないので分かりづらいですが…)