Question

なず

3変数のラグランジュ乗数法の問題がどう解いても正解が出ません。2時間もかかっちゃいました…

3枚目の結果に√3があるので、わたしのλの値には√5しかはいってなくて、ここで既に間違ってることがわかります。わかりますがもうどこが間違ったのか見つかりません。

助けてください！よろしくお願いします！

6.26 曲面9 : デキザーデキテオタ9+2=0(ァ>0) について以下の問いに答えよ
(①) 曲還きと平面==2 の交珠の長さを求めよ
⑫) 曲面8 と平面== 2に閉まれた領城の体積を求めよ
⑬) 不(語3) が曲面上にあるとき。 テオッー2: の大大値を求めよ

(大阪大類 28)         |有番号 s283508)

ーーーーーーーーーー

(3) 則出

ニーニーーー

< ixサーを4xtり42 = 0?20) お)
2) = Xt-2をー人 (xs9-ext9*2) ておとと

>に229-% <       と9)と

し 」 1   よと(と を  上と       1
1 TH この生け+乱うえ-) 2 =
)  と    1  て

-信1)-(和すう1スーキシ<D

関数   メキアー2タ
=当困本         2    2 .2
定義域 2+x+Xデ+Yア+アーーターO0Az>0
最大値:
Y3 1 V3 1
(Y, Y, 2) ーー - =, ーー - -,V3 |のとき,
2  2 2  2
maxlx+アー2z|xデ+x+アー+アータ+2=ニ0Az>0|ニ-1-V3

ラグランジュ乗数法 多変数関数 曲面

Answer 1

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Crystal Clear

fzの計算ミス

Crystal Clear

それとx,yを平方完成してから代入した方が計算が楽です。

なず

回答ありがとうございます！

fzの微分もfz=0の等式ももう一回見直したんですが、やはり見つからなくて…

平方完成で計算が楽になるんですか。はじめて知りました。後でやってみたいと思います。

Crystal Clear

fz=-2+2λzです。一応

なず

あ、まさか自分が書いた符号をずっと見間違えてたなんて、これは反省するべきですね

なず

解き直しました。今回は答えがあってます。

最後にもう一つ気になるところができました。今回z>0で求めた結果は一つだけでした。ラグランジュの結果は極値なのはわかりますが、極大値か極小値かがわかりません。前2つの解があったら大小比較でわかるんでしたが。

推測ですが、もしかしてこの場合も普通の多変数関数の極値のようにfxxで判断できたりしますか？

Crystal Clear

一応、縁つき(境界つき)ヘッセ行列というのがあって極大判定がでます(調べる際にはλの符号の置き方で2通りの定義があることに注意)。極大であって最大でないと仮定すると極大点と最大点の間に極小点が存在するはずですが極値の候補は一点だけだったことからこれはありえない。よって最大点である。

縁つきヘッセ行列はマニアックでこれは要求されていないと思います。曲面が双曲面で、x+y-2z=kがkの増加で法線ベクトル(1,1,-2)方向に平行移動する平面であることを考えれば、図形的に2つが接するときにkが最大になることがわかります。接する条件は2つのグラフの法線ベクトルが一致するときで、これはラグランジュの未定乗数法の導出の通りです。よって求めたものが最大になります。

なず

x+y-2z=kの図形的意味解くときに考えてましたが、平面でしたか。極大の判定思ったよりも結構複雑だったんですね。求められてなさそうのでたぶんこれでいいかなと思います。