Question

大学生

0.99...99=1をε-δ論法で示せ。
という問題の証明を教えてください。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ミント

0.999…
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + …
= lim[n→∞]Σ[k=1～n]0.9・(1/10)^(k-1)
= lim[n→∞][0.9・{1 - (1/10)^n}/(1 - 1/10)]
= lim[n→∞]{1 - (1/10)^n} であり

|{1 - (1/10)^n} - 1|
= (1/10)^n

よって任意の正の実数 ε に対して

(1/10)^N < ε

log10{(1/10)^N} < log10(ε)

-N < log10(ε)

N > -log(ε) を満たす N をとれば

n > N を満たすすべての n に対して

|{1 - (1/10)^n} - 1| < ε

がとなるので

0.999… = 1 です

大学生

なるほど。
大変わかりやすく、理解できました！
ありがとうございます！！