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切り取るべき正方形の一辺の長さをxとすると, 箱は底面a-xの正方形, 高さxの直方体となる[展開図に書き込もう].
箱の容積をV(x)とすると, V(x)=(a-x)^2x=x(x-a)^2. ただし0<x<a/2であることに注意する.
xで微分すると, dV(x)/dx=(x-a)^2+x*2(x-a)=(x-a){(x-a)+2x}=(x-a)(3x-a).
これから0<x<a/3のとき単調増加, a/3<x<a/2のとき単調減少することが分かる.
つまりx=a/3のとき箱の容積は最大となる. したがって切り取るべき正方形の一辺の長さはa/3.
[訂正] 大きく勘違いしていました. 以下に差し替えてください
切り取るべき正方形の一辺の長さをxとすると, 箱は底面a-2xの正方形, 高さxの直方体となる[展開図に書き込もう].
箱の容積をV(x)とすると, V(x)=(a-2x)^2x=x(2x-a)^2. ただし0<x<a/2であることに注意する.
xで微分すると, dV(x)/dx=(2x-a)^2+x*2*2*(2x-a)=(2x-a){(2x-a)+4x}=(2x-a)(6x-a).
これから0<x<a/6のとき単調増加, a/6<x<a/2のとき単調減少することが分かる.
つまりx=a/6のとき箱の容積は最大となる. したがって切り取るべき正方形の一辺の長さはa/6.