ページ3:

自学
(1) z3 - az2 + 2az + b = 0
(*)
方程式 (*) に z=2を代入すると 23 -α・22 + 2a 2 + b = 0
b=-8
b=-8より(*)は
因数分解すると
1
-a
+2a
-8 |2
+2
+4-2a
+8
1
+2-a +4 || 0
z3 - az2 +2az-8= 0
(z-2){22+(2-a)=+4}=0
よって, 方程式(*)の2以外の解をα, β とすると,α, βは2次方程式
z2 +(2-a)z + 4 = 0
の解であり, αもβも虚数解であるから, αとβは共役な複素数であるので
a = β, B=a
がつねに成り立つ。
このとき,2次方程式は異なる2つの虚数解をもつので, 判別式が負になる
から
D=(2-a)-16 < 0 ⇔ -4<2-a <4
⇔
-2<a<6

ページ4:

(2)a=0,b=-8 のとき,(1)より
α=-1±√3i, B=1+√3i
複合同順
よって, 2点α, β (=α)を通る直線lの方程式はx= -1
であり,これは2点(-2, 0), (0, 0)を結んだ線分の垂直二等分線
であるので
|w+2|=|w-0| ⇒ |w+2|=|w|
3
ここで, a +β=-2であるから
|w-(a+β)| = |w|
すなわち
|w-a-β|=|w|
もうひと頑張り
a
a
w':
|=
とおくと, w'≠0 より
W =
W
w'
a
③に代入して
10+21-101
=
a
w'
W
a +2w'
a
= |
w'
w':
'=_,|a|=2より
W
a
これは,点が
点
W
2
を描くことを表している。
w'
a
al
W+1-2
a a
+
W 2
=
= 1
を中心とする半径1の円

ページ5:

|α」を求めます。
解と係数の関係により
αとβは共役な複素数だから
③を①と②へ代入して
② より
よって
であるから, 2 点 α, β(=d)は
上にあることがわかります。
a +β=a-2
aβ = 4
β= a
①
α+ α = a-2
aa=
= 4
aa=|a|=4
|a|=2, |a|=2
① (後で使う)
12
原点を中心とする半径2の円
よって, 3点 2,α, β(=d) が正三角形になるとき, 点αは点2を
原点を中心に±120°回転
させた点だから,
2
2
α = 2 cos ± 兀 +isin ±
兀
1
=
= 2
= −1±√3i
土
2
2
このとき,
a = 2+α+α
=2+(-1±√3)+(-1F~Bi) ※複合同順
=0