ノートテキスト
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2024 年度 10 月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi Y問題 Y3 kを定数とする。 関数 f(x) = -3x2+kxがあり, 0 を原点とする 座標平面上において, 放物線 C:y=f(x) 上の点(1,f(1))における 接線の傾きは4である。また,Cのy > 0 の部分に2点A(a, f(a)) B(b,f(b))(ただし,k)をとる。 (1)kの値を求めよ。 また, 直線 OB の方程式をbを用いて表せ。 (2) Cの0≦x≦αの部分と直線x =αおよびx軸で囲まれた部分を D,とし,その面積を S, とする。 S, をαを用いて表せ。また, C と直線 OB で囲まれた部分を D, とし,その面積をSとする。 S2 をbを用いて表せ。 (3)(2)において, 直線 OB が D の面積を2等分するとき, bをαを 用いて表せ。 このとき,さらに直線 x = α が D, の面積を2等分す (配点 50 ) るようなaとbの値をそれぞれ求めよ。
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(3) お絵かきすると 直角三角形の面積は ax(-3b+10)a ÷ 2 a² (-3b+10) ... .1 直線 OB が D の面積を2等分 するとき, S, = 1 ×2が成り立つ から -a' + Sa²=1/2a^(-36+10)×2 -a³ >>> A b a 2 ∴. - a + 5 = -36 + 10 ( ∵ a > 0 より両辺を2で割る) ∴.b a+5 3 答 B
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@Akagi ~微分・積分法(数Ⅱ)~ (1) f(x) = -3x2 + kx を微分すると f'(x) = −6x+k f'(1) = 4より f(x)=-3x²+10x) - 6x1+k=4 .. k = 10 B(b, 3b2+10b) -36² +10b X よって, 直線 OBの方程式は y b .. y = (-3b+10)x
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(2) お絵かきすると
よって, D, の面積は
s="f(x)dx
=f" (-3x2 +10x)dx
=x+5x2}
= -a3+5a2答
==
お絵かきすると
よって, D2 の面積は
1
a
f(x)=-3x2+10x
S2 =${f(x)-(-36+10)x}
=S(-3x2+3bx)dx
-bx2
0
=
x+
2
3
1
=
-63 +
2
-b2=-62答
2
D2
f(x)=-3x2+10x
B
y=(-36+10)x
b
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(3) お絵かきすると
ピンクの部分の面積を求めると
∫{(-3x2 +10x)-(-3b+10)x}dx
= f(-3x²+3bx)dx
3 2
= [ = x² + 2 2 bx² ] °
x+
a
= -a +
3+2020
2
a
D2
B
x=aがDの面積を 2 等分するとき, S, =2×2が成り立つから
62
±²±² b² = (-a² + ²³±³a²³b)×2
∴. b3 - 6a2b+ 4α = 0
∴ (b-2a) (b2+2ab-2a²)=0
b=2a, (-1±√3)a
b=(-1+√3)aのときb <a ×
b=(-1-√3)a のとき 6 < 0 ×
よって b=2a。
a+5
これと前半で求めたb=-
を連立方程式として解くと
3
a = 1, b = 2答
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