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均等分割払い
西暦2022年一月一日に100万円を年利率7%で借りた人がいる。
この返済は2022年12月31日を第1回とし、その後、毎年年末に
等額ずつ支払い、 2024年年末に完済することにする。 毎年年末に
支払う金額を求めよ。 ただし、1.07の3乗=1.225として計算
し、 1円未満は切り上げよ。
毎年年末に支払う金額をX円とする。
1回目 1年後の元利合計は
106円(100万円)
(2022年) 106×1.07円
1年後
元金
利子
x円返済するから、返済後の残金は
10×1.07-x(円)
円返済
2回目 2年後の元利合計は
残金
(2023年) (10×1.07-x)×1.07(円)
2年後
元金
x円返済するから、返済後の残金は
(100×1.07-x)×1.07-x(円)
3回目
(2024年)
3年後の元利合計は
円返済
残金
{(10x107-x)×1.07-x}×1,07(円)
x円返済するから、返済後の残金
{(10×1.07-x)×1.07-x}×107-x(円)・・・①
3年後
元金
X円返済
この3回目の残金①が0円となるようにすればよい。
1225-1
x = 10°.1.225
すなわち
0.07
よって
{(10%x1.07-x)×1.07-x}×107-x = 0
10% 1.07³ - (1.07² + 1.07 + 1) x = 0
100×1.073
= (1.0771.07+1)x
3年間預けたときの
3回目に積立金円
を預けたあとの積立
100万円を複利法で
元利合計
預金の利合計
②より (1+107+107x=10°×1.07
初、公比1.07の等比数列
の第3項目までの和
1073-1
1.07-1
x =
10°.1.073
x
=
106.1.225.0.07
0.225
= 3811111
381112円ずつ支払えばよい。
一般に、利率rの複利法, n回の均等分割払いで円の商品を
買ったときの毎回の返済額をx円とすると
A(1+r)" = (1+ (H+r)+(1+r)²+---+ (1+r) -1}x ---③
③の
をSとおくと,r>0より
S=1+(けい)+(けん)+(4)
attitra
等比数列の第九項
(1++)-1
(1+r)"-1
=
=
...
1+r-1
④ ③に代入してA(l+r=(-1
したがって、毎回の返済額は
までの和
Ar(1+r)"
--x
X
=
(1+1)"-1