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数学

【高3】7月第2回全統共通テスト模試✿関数✿

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赤城(◕ᴗ◕✿)🎀

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ちょっとだけ

ノートテキスト

ページ1:

数学Ⅱ・数学B
(注)この科目には, 選択問題があります。 (15ページ参照)
第1問 (必答問題)(配点 30)
2021年度第2回全統共通テスト模試
[1]
x の関数
f(x)=3cos2x + sin x + 2√3 sin xcosx
について考える。
である。また
より
sin2x= 【ア】sinxcosx
cos2x=【イ】cos'x-【ウ】=【エ】-【オ】sin' x
COS x =
[ウ] + cos2x
sin2 x = -
I
[イ]
:]+
+ cos2x
[オ]
である。これらを用いて f(x) を変形すると
f(x)=√【カ】sin2x + cos2x+【キ】
と表せる。 さらに, 三角関数の合成により
π
f(x)=【ク】sin 2x +
|+[キ]
【ケ
と表せる。
π
π
=
xが0≦x≦ーの範囲を動くとき, f(x)はx= で最大値 【サ】をとり,
2
π
x=
で最小値 【ス】をとる。
【シ】
(数学Ⅱ・数学B 第1問は次ページに続く。)

ページ2:

第1問 [1]三角関数 解答例 & プチ解説
◇2倍角の公式により
sin2x=2sinxcOS X
cos2x = 2cos2x-1=1-2sin' x
・①
=
◇①より
cos² x=
1 + cos 2x
2
sin2 x=
1-cos 2x
2
* 半角の公式を導出
f(x)=3cos' x + sin? x+√3.2sin.xcosx
1+ cos 2x
1-cos 2x
=3.
+
+√3 sin 2x
2
2
=
√ sin 2x + cos2x + 2
◇三角関数の合成により f(x) = √3sin2x+cos2x + 2
π
1
√3
=√(√3)2 +12 sin(2x+1) +2
πT
=2sin 2x+ +2
++2
x=(1/2)とおくと
・2x+-=t
6
f(x)=2sint+ 2
ここで,
π
sint (t=")の最大値は1だから
f(x) の最大値は2×1+2=4であり
2x+.
πT π
=
6 2
7
よりx=
π
6
1
7
π
1←Max
1-2
← Min
π
-6
2×(-2) +2=1
sint(t=-π)の最小値は--だから f(x) の最小値は2×(
πT
6
であり2x+
πT 7
ーミール
6 6
-πよりx=
2
したがって, f(x)はx=1のとき最大値4,x=のとき最小値1をとる。
6

ページ3:

[2]
(1)s=x^-4x + 8 とする。 x がすべての実数値をとって動くとき,sのとり得る
値の範囲は s≧【セ】である。
(2) aとk を実数とする。 xの方程式
4{log」(x2-4x+8)}-log2(x²-4x+8)2"-k=0
を満たす実数xについて考える。
log24=【ソ】より, s=x²-4x+8 とおくと
・(*)
10g2s
log4s=
【タ】
であり,
log2 s2 =【チ】alog2 s
であるから,(*)は 【ツ】と変形できる。
【ツ】の解答群
(logs)22alog2s-k=0
② log2 2s-10g2s +2a-k=0
(i) a=1, k=0 のとき,[ツ] より
(ii)
s=【テ】
①2 log2 s-(log2 x) 2a -k=0
となるから,(*)を満たす実数xは 【ト】である
a=3のとき,(*)を満たす実数xの個数が2個となるk の条件は
k>【ナニ】 または k= 【ヌネ】
である。

ページ4:

第1問[2] 指数・対数関数 解答例&プチ解説
平方完成するとs= x2 -4x + 8
=(x-2)²+4
≥ 4
log2 s log2 s
log₂ 4=log2 2² = 2
log4
S=
log₂ 4
2
2a
log2 s² = 2 a log2 s
◇ 4{log₁(x²-4x+8)}² -log₂ (x²-4x+8)² - k=0
2a
→4(log4 s)² -log₂ s² - k=0
→4(
2
(log2 S)² - 2a · log2 s− k = 0
2
→ (log2 s)² - 2a log, s-k=0...
a=1, k=0のとき
(log2 s)² -2log2 s=0
.. log2 s(log2 s-2)=0
*因数分解
s≥4 log2 s−2=0 .. log2 s=log2 2² = log₂ 4
..s=4
元に戻すと x2 - 4x+8=4 ∴(x-2)^=0
x=2
したがって,(*)を満たす実数xは1個。

ページ5:

a=3のとき,
(log2s)2-610g2s=k
10g2s=t(s≧4より≧2) とおくと
t² -6t=k
.....**
y=f(t)=t2-6t=(t-3)2-9とおき,
y=f(t)とy=kの交点を考える。
y
t₁ 3 t
0
t
6
y=k
-9
y=k
y=k
ア) k<-9のとき, 放物線と直線の交点はないからダメ。
イ)k=9のとき,**は f2-6t = -9:(t-3)^=0
∴.t=3
.. log2 s = 3
∴.s=8
∴. x2 -4x + 8=8
∴x= 0, 4 おk。
ウ) k>-9 のとき, 放物線と直線の交点の座標をそれぞれ
,たとする(t, <3,3<た)。
10gs = より S=2 ∴. x2 - 4x + 8 =2'
3<たより23 <2だから①を満たすxは2個存在する。
log2 s =t より 2 ∴. x2 - 4x + 8 =2
・①
②
すでに x は 2 個存在するので, ②を満たすx が 0 個となれ
ばよいから 2' < 4 ∴t, <2
f(2) =-8より
|-8<k
ア,イ, ウより k>-8 またはk=-9
時間内には絶対ムリ!!

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