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数学Ⅱ・数学B (注)この科目には, 選択問題があります。 (15ページ参照) 第1問 (必答問題)(配点 30) 2021年度第2回全統共通テスト模試 [1] x の関数 f(x)=3cos2x + sin x + 2√3 sin xcosx について考える。 である。また より sin2x= 【ア】sinxcosx cos2x=【イ】cos'x-【ウ】=【エ】-【オ】sin' x COS x = [ウ] + cos2x sin2 x = - I [イ] :]+ + cos2x [オ] である。これらを用いて f(x) を変形すると f(x)=√【カ】sin2x + cos2x+【キ】 と表せる。 さらに, 三角関数の合成により π f(x)=【ク】sin 2x + |+[キ] 【ケ と表せる。 π π = xが0≦x≦ーの範囲を動くとき, f(x)はx= で最大値 【サ】をとり, 2 π x= で最小値 【ス】をとる。 【シ】 (数学Ⅱ・数学B 第1問は次ページに続く。)
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第1問 [1]三角関数 解答例 & プチ解説 ◇2倍角の公式により sin2x=2sinxcOS X cos2x = 2cos2x-1=1-2sin' x ・① = ◇①より cos² x= 1 + cos 2x 2 sin2 x= 1-cos 2x 2 * 半角の公式を導出 f(x)=3cos' x + sin? x+√3.2sin.xcosx 1+ cos 2x 1-cos 2x =3. + +√3 sin 2x 2 2 = √ sin 2x + cos2x + 2 ◇三角関数の合成により f(x) = √3sin2x+cos2x + 2 π 1 √3 =√(√3)2 +12 sin(2x+1) +2 πT =2sin 2x+ +2 ++2 x=(1/2)とおくと ・2x+-=t 6 f(x)=2sint+ 2 ここで, π sint (t=")の最大値は1だから f(x) の最大値は2×1+2=4であり 2x+. πT π = 6 2 7 よりx= π 6 1 7 π 1←Max 1-2 ← Min π -6 2×(-2) +2=1 sint(t=-π)の最小値は--だから f(x) の最小値は2×( πT 6 であり2x+ πT 7 ーミール 6 6 -πよりx= 2 したがって, f(x)はx=1のとき最大値4,x=のとき最小値1をとる。 6
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[2] (1)s=x^-4x + 8 とする。 x がすべての実数値をとって動くとき,sのとり得る 値の範囲は s≧【セ】である。 (2) aとk を実数とする。 xの方程式 4{log」(x2-4x+8)}-log2(x²-4x+8)2"-k=0 を満たす実数xについて考える。 log24=【ソ】より, s=x²-4x+8 とおくと ・(*) 10g2s log4s= 【タ】 であり, log2 s2 =【チ】alog2 s であるから,(*)は 【ツ】と変形できる。 【ツ】の解答群 (logs)22alog2s-k=0 ② log2 2s-10g2s +2a-k=0 (i) a=1, k=0 のとき,[ツ] より (ii) s=【テ】 ①2 log2 s-(log2 x) 2a -k=0 となるから,(*)を満たす実数xは 【ト】である a=3のとき,(*)を満たす実数xの個数が2個となるk の条件は k>【ナニ】 または k= 【ヌネ】 である。
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第1問[2] 指数・対数関数 解答例&プチ解説 平方完成するとs= x2 -4x + 8 =(x-2)²+4 ≥ 4 log2 s log2 s log₂ 4=log2 2² = 2 log4 S= log₂ 4 2 2a log2 s² = 2 a log2 s ◇ 4{log₁(x²-4x+8)}² -log₂ (x²-4x+8)² - k=0 2a →4(log4 s)² -log₂ s² - k=0 →4( 2 (log2 S)² - 2a · log2 s− k = 0 2 → (log2 s)² - 2a log, s-k=0... a=1, k=0のとき (log2 s)² -2log2 s=0 .. log2 s(log2 s-2)=0 *因数分解 s≥4 log2 s−2=0 .. log2 s=log2 2² = log₂ 4 ..s=4 元に戻すと x2 - 4x+8=4 ∴(x-2)^=0 x=2 したがって,(*)を満たす実数xは1個。
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a=3のとき, (log2s)2-610g2s=k 10g2s=t(s≧4より≧2) とおくと t² -6t=k .....** y=f(t)=t2-6t=(t-3)2-9とおき, y=f(t)とy=kの交点を考える。 y t₁ 3 t 0 t 6 y=k -9 y=k y=k ア) k<-9のとき, 放物線と直線の交点はないからダメ。 イ)k=9のとき,**は f2-6t = -9:(t-3)^=0 ∴.t=3 .. log2 s = 3 ∴.s=8 ∴. x2 -4x + 8=8 ∴x= 0, 4 おk。 ウ) k>-9 のとき, 放物線と直線の交点の座標をそれぞれ ,たとする(t, <3,3<た)。 10gs = より S=2 ∴. x2 - 4x + 8 =2' 3<たより23 <2だから①を満たすxは2個存在する。 log2 s =t より 2 ∴. x2 - 4x + 8 =2 ・① ② すでに x は 2 個存在するので, ②を満たすx が 0 個となれ ばよいから 2' < 4 ∴t, <2 f(2) =-8より |-8<k ア,イ, ウより k>-8 またはk=-9 時間内には絶対ムリ!!
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