ページ3:

การหารากที่สาม.
- การหารากที่สามโดยการแยกตัวประกอบ
d
ตัวอย่าง
www
5
กา
จงหา 3343
=
343 3 ×7×7
=
33
=
d
ตัวอย่าง
www
วิธีกา
จงหา - 3,315
√-3,375
♥100
d
อวยาง
www
s 0
ง กา
=
สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้วิธีการหารสั้น
เช่นเดียวกันกับการหารากที่สอง
=
=
=
(-3) × (-3) × (-3) × 5×5×5
3√(-3×5)³
√(-15)³
-15
จงา
-0.000729
=
-0.000729
ตัวอย่าง
www
วิธีกา
จงหา 9 16
100
3/ (-0.09) × (-0.09) × (-0.09)
=
3 C– 0.09)
= -0.09
3/16
3
=
2x2x2x2
=
2x3√2
=
232

ページ4:

NOTE
สมบัติของรากที่สาม
1. ถ้า a < 6 แล้ว 33 < 36
2. 3a × 6
3.
ง
√b
=
=
3√ ab
1.
วิธีท
ตัวอย่างการหาผลลัพธ์ โดยใช้สมบัติของจากที่สาม
343 และ 351 จำนวนใดมีค่าน้อยกว่ากัน
เนื่องจาก 43 มีค่าน้อยกว่า 51
ดังนั้น จากสมบัติ ถ้ำ 3 4 5 แล้ว 4 4 36
จะได้ว่า 343 มีค่าน้อยกว่า 351
2. จงหาผลลัพธ์ 3 12 x 33
วิธีป
3/12/3
=
×
72x3
=
√ 216
=
=
=
2×2×2×3×3×3
(2×3)3
2x3
=
6

ページ5:

3. จงหาผลลัพธ์
020
324
24
3
3
=
24
3
=
3√8
=
=
=
3√ 2×2×2
3
2
2
REMEMBER
จำนวนจริง (R)
จํานวนตรรกยะ (ญ)
(เนนเป็นเศษส่วนทศนิยม ไ
จํานวนเต็ม (I)
จำนวนเต็มลบ(I)
(-1,-29-3,
จำนวนเต็ม ศูนย์ (I)
(0%)
จำนวนเต็มบวก (I)
เศษส่วน ทศนิยม (F|D)
—เศษส่วน
—ทศนิยมซ้า
9
อื่นๆ -
จํานวนอตรรกยะ ( )
(เขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมซ้ำไม่ได้)
- รากที่ถอดไม่ลงตัว 2,45,415
≡ 2. 58000 ...
T
614 = 2
กศนิยมไม่ซ้ำ 0.25873114
T.e
Note
2. 55
0.3
= 0.33333...
หรือจำนวนนับ N (1,2,3,...)
π ≈
2. 41
= 2.47414141...
..
T อตรรกยะ
1. 123 - 1.123123123...
99
ย
7
\,
Q

ページ6:

1. จำนวนตรรกยะ
จำนวนจริง
คือ จำนวน ที่เขียนแทนได้ ด้วยเศษส่วน - เมื่อ 4 และ 5 เป็นจำนวนเต็มที่ 540
1.1 การเรียนเสียส่วน ได้อยู่ในรูปทศนิยม
สามารถเขียนเก่งส่วนในอยู่ในรูปทศนิยมได้ โดยการนำตัวส่วนไปหาะตัวเศษ
1
จงเขียน ๆ ใช้อยู่ในรูปทศนิยม
วงยาง
วิธีท่า
2.25
จ
บ
-
ตัวอย่าง จงเขียน 1 ใช้อยู่ในรูปทศนิยม
วธกา
11
0.6363...
11 ) 1
0
ดังนั้น
04
10
8
20
10
66
40
= 2.25
20
= 2.25000...
33
10
66
40
33
ๆ
ดังนั้น
-
=
0.6363...

ページ7:

ซึ่งเรา สามารถเขียนในรูปทศนิยมได้ (สดทั้งบนตัวเลข) โดยแบ่งเป็นสองกลุ่ม ดังนี้
(1) ทศนิยมช้าศูนย์
2
น
0.30 = 0.300...
เขียนเป็น 0.3
- 1.650 - - 1.6500 ... เขียนเป็น - 1.65
=
(2) ทศนิยมที่ไม่ใช่ กศนิยม ศูนย์
เขียนแบบไม่มีจุด ช้างบน
เช่น
6. 4444 ... เขียนเป็น
0.4 ( ตัวเลข 1 ตัว มีจุดทั้งบนตัวเลขนั้น 1 จุด )
9.131313...
เขียนเป็น
0.13
1. 326 326 326 ...
เขียนเป็น -1.326
8. 12546464C...
เขียนเป็น 8.12546
-
12.356819819... เขียนเป็น -12.356819
1.2 การเรียนทศนิยมใช้อยู่ในรูปเศษส่วน
เช่น
11
0.11 =
100
137
1000
d
-0.137 =
กรณี ทศนิยมซ้ำ ศูนย์.
กรณีทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยม ศูนย์ สามารถเขียนในรูปเศษส่วน ได้ ดังนี้
วงราง
0
จงเขียน 0.6 ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
N = 0.6
N = 0.666...
นั่นคือ
(1)
6. 666 ...
(2)
(6.666...)-(0.666...)
ดังนั้น
(1)×109
10 N
3
(2)-(1);
10N-N
=
9N =
0.6 = 1/4 - 21/03
N =
6
60
=
213

ページ8:

TIPS
วิธีตัด ในการเรียนทศนิยมอยู่ในรูปเศษส่วน สามารถทำได้ดังตัวอย่าง
1) 0.3
3-0
9
=
310
ตัวเลขทั้งหมด - ตัวเลขที่ไม่ซ้ำ
เขียนเลข 9 ตามว่าชอบตัวเลขที่ชา
2)
0.26
26-0
99
4)
0.14
14-01
=
90
5) 0.235
6) 0. 1234
=
13
90
-
235-023
900
212
900
1234-012
9900
1222
=
9900
ปี
2.5
25-2
=
=
23
9
8) 3. 18
316-31
=
90
9)
===
285
12.346
90
=
123-0
ง) 0.123
999
ตัวเลขทั้งหมด - ตัวเลขที่ไม่ซ้ำ
เขียนเลข 9 ตามจำนวนตัวเลขที่ช้า และเลข 0 ตามจำนวนตัวเลขที่ไม่ซ้ำ
เพิ่งเคยที่ไม่ซ้ำอยู่หลังจุด → Fo
เวลาที่ไม่ซ้ำอยู่หน้าจุด - ไม่ใส่ 0
12346 - 123
990
12223
=
990

ページ9:

2
NOTES:
จำนวนเต็ม
จํานวนเต็มบวก
จํานวนตรรกยะ
ศูนย์ ( จำนวนเต็ม ศูนØ)
จำนวนเต็มลบ
เศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
2. จำนวนอตรรกยะ
คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน 6 เมื่อ 8 และ 5
เช่น
รากที่ถอดไม่ลงตัว เช่น 12, 13, 15
เป็นจํานวนเต็มที่ 5 ≠ 0
√2 9
.
• กศนิยมไม่ช่า
เช่น
2. 346 9 8 11 68 ...
ทศนิยมไม่รู้จบ
ทศนิยมซ่าจริง แต่ซ้ำแบบตัวเลขเพิ่มขึ้น
3. รากที่สอง
1.454554555...
- 6.18118111 8 ...
ค่า ? ( พาย) ซึ่ง T = 3.14 ...
บทนิยาม : ใช้ 2 แกะ จำนวนจริงบวกใด ๆ หรือ ศูนย์
รากที่สองของ 4 ตัว จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ 3
* ไม่เป็นจำนวนจริงลบ เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสอง แล้วได้จำนวนจริงลบ
ตัวอย่าง
1 เป็นรากที่สอง ของ 49
เนื่องจาก
=
1 = 49
-ฯ
เป็นรากที่สอง ของ 49
เนื่อง 11
10
(1) - 49
=

ページ10:

NOTES
.
.
• จากบทนิยาม จะได้ (a) = 3 และ (-a) = a
ถ้า a=0 รากที่สอง ของ 4 คือ 0
ถ้า 4 เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ 3 มีสองราก คือ
รากที่สองที่เป็นบวก ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ 3 และรากที่สองที่เป็นป
ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ - Ja
ตัวอย่าง รากที่สองของ 36 มีสองราก เขียนแทนด้วย 36 และ 36
เนื่องจาก √.38
B
6 และ -√36
=
-6 เพราะ 6 = 36
ดังนั้น
รากที่สองของ 36 คือ 6 และ -6
ตัวอย่างที่ 1 จงพาราก
วิธีท
ตัวอย่างที่ 2
2
จงนารากที่สอง ของ 16
เนื่องจาก มี 4 และ - 4 เป็นจำนวนเต็ม ที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ 16
ดังนั้น จากที่สอง ของ 16 เป็นจำนวนเต็ม คือ 4 และ - 4
24
* กรณีไม่มีจำนวนเต็มใดที่ยกกำลังสอง แล้วได้หัวมัน
จงนารากที่สองของ
วิธีท เนื่องจาก ไม่มีจำนวนเต็ม ใดที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ 24
ดังนั้น รากที่สองของ 2.4 เป็นจำนวนอตรรกยะ คือ 94 และ 24
ตัวอย่างที่ 3 จงหา -
-
080
เนื่องจาก 149
=
น
ดังนั้น
-√49
=
- ฯ
=

ページ11:

ตัวอย่างที่ 4 จะหา (1)
s 0
เนื่องจาก
น
นัน
V-117
√(-11)²
=
=
ตัวอย่างที่ 5 จะหา
วิธีกา
√ 112
11
=
0.0016
เนื่องจาก J 0.0016
11
OLD
SCHOOL
= √(0.04) ²
ดังนั้น
√ 0.0016
0.04
ตัวอย่างที่ 6 จงหา
-
25
196
วิธีกา เนื่องจาก
05
=
6±
d
ดังนัน
-
196
25
196
=
1
-
5
14
=
0.04
=
5
14
การหารากที่สอง
- การหารากที่สอง โดยการแยกตัวประกอบ
d
9วอยาง
จงหารากที่สอง ของ 400
univ
TIPS
วิธีกา
อาจใช้วิธีการชารส่น
เพื่อหาตัวประกอบได้
เห่องจาก
400
=
2x2x2x2x5x5
=
(2x2x512
0 ) 400
2)200
=
202
2 )100
2) 50
และ
400
=
(-20)2
5)
25
5) 5
ดังนั้น รากที่สองของ 400 คือ 20 และ 20

ページ12:

d
ตัวอย่าง
www
วิธีกา
d
ตัวอย่าง
univ
วิธีกา
จงหา √ 1089
เนื่องจาก √1,089
=
3×3 × 11 × 11
ดังนั้น 1,089
=
=
=
=
33
√(3×11)
3×11
33
จงหา -√1,164
เนื่องจาก -√1,164
ดังนั้น - 1,164
MUST] ตัวอย่าง
=
TipS
ên ใช้วิธีทางการ น
เพื่อหาตัวประกอบได้
3) 1089
3)
363
11 ) 121
11
=
=
√2×2×3×3×7x7
= -√(2×3×1)
TIPS.
อาจใช้วิธีทางการ น
เพื่อหาตัวประกอบได้
2 ) 1164
2) 882
3) 441
141
=
-(2×3×7)
1) 49
=
- 42
42
จงหา
DO
วิธีกา
เนื่องจาก
√8
ดังนั้น
√18
=
=
2√2
- การหารากที่สอง โดยการประมาณ
เช่น
15 ใกล้เคียง 10
10 ใกล้เคียง 9
และ
และ
165 ใกล้เคียง 169 และ
√16
√9
169
=
2x2x2
=
2× √2
=
=
4 ดังนั้น 15 4 4
3
ดังนั้น 10 ~ 3
13 ดังนั้น 15 % 13
=
22

ページ13:

NOTE
สมบัติของ รากกสอง
เมื่อ a>0 b>o
*1.
ถ้า a < 6 แล้ว Ja - Jb
ใช้ในการเปรียบเทียบมากกว่า น้อยกว่า
A. Ja JD
√b
=
Jab
a
3.
Ja
√b
=
ตัวอย่างการหาผลลัพธ์ โดยใช้สมบัติของรากที่สอง
1. จงหาผล 18
040
งา
เนื่องจาก 9
=
√4 × √2
=
=
√2×2 × √2
2*√2
2.2
2. จงหาผลÁฟล์ 132 x 2
วิธีท เนื่องจาก √32 × 2
=
=
=
=
√32×2
√ 32 × 2
√64
√8×8
go
8