基本 例題 73 放物線の頂点が描く曲線など
(1)放物線y=x-2(+1)x+20°tの頂点は,tの値が変化するとき
線上を動くか。S
000
(2) 定円x2+y2=r2の周上を点P (x, y) が動くとき, 座標が (y2-x2, 2xy)で
表される点 Qはどんな曲線上を動くか。
基本事項
指針 (1) まず, 放物線の方程式を 基本形y=α(x-p)'+αに直す。 頂点の座標を(x,y)とす
ると, x=(tの式), y=(tの式) と表される。x=(tの式), y = (tの式) から 変数を消
去して, x, yの関係式を導く。
(2)円の媒介変数表示 x=rcos 0, y=rsin0 を利用すると, 点Qの座標 (X,Y)
で表される。この媒介変数表示からX, Yの関係式を導く。
CHART 媒介変数 消去して, x, yだけの式へ
解答
(1)_y=x²-2(t+1)x+2t²−t
={x2-2(t+1)x+(t+1)^}-(t+1)^+2t2-
={x-(t+1)}+t3t-1
t=-2
t=-1
19
t=0 Knia
t=1
x=t+1
よって, 放物線の頂点の座標を(x, y) とすると
①, y=t2-3t-1
-S
3
t=2
②
1
①から t=x-1
2012/3
これを②に代入して
y=(x-1)2-3(x-1)-1I0ail
-1-
よって y=x2-5x+3
--Oniz
-3L
13
したがって, 頂点は放物線y=x²-5x+3上を動く。
基
橋
が
指
(2)x+y=rから, P(x, y) とすると
x=rcosl, y=rsin0 と表される。 Q(X, Y) とすると
X=y2-x2=r2(sin20-cos20)
Y=2xy=2rcos •rsin0=resin 20
S+S-S=
=-r2 (cos20-sin20)=-recos 20
よって X2+Y2=r(cos220+sin'20) ダ
したがって,点Qは円x2+y'= (m2) 上を動く。
引く
803y=x²-5x+3
tの値がすべての実数値をと
ると、①のxの値もすべて
の実数値をとり、頂点は放物
線 y=x2-5x+3全体を動く。
<X, Y=OcOSAO
= sin△ の形 -
→
sin+cos2△=1 の活用
を考えてみる。であるから
曲
