(2) すべての実数x, kx°+(k+1)x+k$0 がよ
(1) のx, x+ax+a+3>0 がように、
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基本例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式)
0000
定数aの値の範囲を定めよ。
p.135 基本事項
うな定数をの値の範囲を求めよ。
CHART OSOLUTION
定符号の2次式
常に ax+bx+c>0 → a>0, D<0
常に ax°+bx+c<0 → a<0, D£0
(1) xの係数は 1>0→ D<0 であるaの条件を求める。
ことに注意。kキ0 の場合, kく0 かつ DS0 であるkの条件を求める
解答
(1) x+ax+a+3=0 の判別式をDとする。
x°の係数は正であるから, 常に不等式が成り立つ条件は
←下に凸の放物線が常に
x軸の上側にあるため
の条件と同じ(p.135基
本事項2参照)。
0>α
D=a°-4·1·(a+3)=α°-4a-12=(a+2)(a-6)
ここで
D<0 から, 求めるaの値の範囲は
(2) kx°+(k+1)x+k<0
[1] k=0 のとき, ①は
これはすべての実数xに対しては成り立たない。
[2] kキ0 のとき, 2次方程式 kx?+(k+1)x+k=0 の判別
式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立
つための条件は
ここで
-2<a<6
① とおく。
下に凸
0ラx
0>I
k<0 かつ D<0
D=(k+1)?-4·k·k=-3k°+2k+1
(2)問題文に「2次」 不等式
とは書いてないので、
k=0 の1次不等式の場
DS0 から
合も調べる。
0ミ(I-)(I+\E)
2Cf
kS-. 1Sk
k<0 との共通範囲をとると k<
以上から,求めるkの値の範囲は
050
ーラ
