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数学 高校生

5〜7行目において、変数をx、yに置き換えたときなぜこの値になる? X=x+y、Y=x-yを代入していないのはなぜ? 教えてください。

す 3 121 条件を満たす点の存在範囲 例題 「座標平面上で,点P(x, y) がx2+y2≦2 を満たしながら動くとき, 次の点が動く領域を図示せよ. (1) Q(x+y,x-y) (1) x+y=X, x-y=Y とおき, x, y を X,Yで表すことを考える (2) x+y=X, xy=yとおき, (1)と同様に考えればよいが,そのとき, (1) と異なり、 X,Yが実数であっても x, y は実数とは限らないので, x,yが実数として存在 するための条件が必要になる. SJCSS A (1) x+y=X,x-y=y とおくと, 65UX330 X+Y_X-YP >>7°N 1² kurd/dsxx v そうな x=-2,y= x2+y2≦2 より, 2 X+ \2 (X + Y)² + ( X = X ) ² = ² ≤2 (2) R(x+y, xy) したがって, X2+Y2≦4 変数をx, yにおき換えて、 x² + y² ≤4 Mat よって, 点Qが動く領域は右 H FCO 23 の図の斜線部分で, 境界線を含む. (2) x+y=X, xy = Y とおくと, x,yは2次方程式 f-Xt+y=0 ・・・・・① の2つの解である。 したがって、 ①の判別式をDとすると,x,yが実数 であるためには, D≧0 でないといけない. y=x²-1 ......3 HIMA つまり、 =Y²=X²-1 変数をx, yにおき換えて, 160913 3 軌跡と領域 221 **** 2 SELY TO よって②③より,点Rが 動く領域は右の図の斜線部分で, [S 境界線を含む. 20 x,yをX,Yで表す. yI (2x+y=4x,yを代入する. X, Y が実数のとき, x, も実数になる. Q (X,Y) が動く領域 x²-(a+B)x+aß=0 X,Yが実数でも,x, yは①の解なので実数 とは限らないことに注 つまり, D=X2-4Y≧0より, YS-X意する。X=0, Y=1 変数をx,yにおき換えて、 は下の③を満たすが, ①より,t=±えとなり, 点Pは存在しない. y≤1x² また、与えられた条件より, したがって, X²-2X ≤2 2x1 図は xy平面上にかく. C には α,βを解とする2次 方程式 (x+y)²-2xy≤230 2=1212-1 X, Yの式で表す. 2 x 0-0 280 座標平面上で,点P(x, y) |x|≦1,|y|≦1 を満たしながら動くとき,次の 点が動く領域を図示せよ. CS AJPRE (1) Q(r+11 Son (2) R(x+y, xy) →p.22745 3 図形と方程式 1

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数学 高校生

黄色の四角で囲ってあるところがどういう計算をしているのか分かりません。どなたか解説をお願いします

練習問題 106 階差数列,和が与えられた数列 2016 2つの数列{an},{bn}がある。数列{an}の初項は36であり、その階差数列{an+1 - an} は,初項 72,公比3の等比数列であ る。また、数列{bn}の初項から第n項までの和S, は, Sh=3n²+2n+1 で表される。 (1) 数列{an}の一般項をnの式で表すと, an=| ア である。 1 カ である。 エオ であり, n ≧2のとき b = また,T, // とすると,T"= = ak (2) 数列{bn}の初項はb=| 解答 Key である。 また, n ≧2のとき Um=2 (bk) とすると, Un=シスセソ ㎥²+n+タチである。 = よって, n ≧2のとき 20 D = a₁ +272.34-1 an = a+ - Col 3+ - x) + S (1) 数列{an}の階差数列{an+1- an}が初項 72,公比3の等比数列であ るから, 階差数列の一般項は 72.3"-1 2001 = 36+ よって (SE)XI-AC 1 また したがって よって、数列{1} は,初項 an / Key 2 (2) (7) n = 10) ² (イ) n ≧2のとき - MH 48902 72(3"-1-1) 3-1 Tn = 43=36.3"-1 = 4.3 +1 4·3n+1にn=1 を代入すると 4.3°= 36 となり, α = 36 と一致す数列{an} は初項 36,公比3の (SAB) 等比数列である。 る。 an = 4.34+1 pesos) ti sti (6) + ( 1 ak 36.34-1 bn = Sn-Sn-1 =6n-1 次に2のとき n ? Selett=36+ n 1 36(7)* 3502002 公比 "1 k=1 ak 36' 1 k=1 36 Un = (br)² = (b₁)² + (bn)² k=1 イ 1 キ 020 { ¹ - ( -/-/-)²} 3 188 3 コ n =3n²+2n+1-{3(n-1)2+2(n-1)+1 総和1 b1=S=3+2+1 = 6 _ (38=21)(81) (6k − 1)² ‹‹√5 = 36+ (6k-1)² – (6∙1−1)² = 36k² − 12k +Z1+11 ³ k=1 k=1 k=1 008(SI-e+ サ ich = の等比数列である。 (ees-- S ee Bea (N 12/4 {1-(1/2)^2} 892 # (5) 数列{an}の階差数列が {bn}の とき (1) an=a1+, ウ 0+ on-s UA ²4 of s NO OSES 08 51 11 8 7M 01 (3) 01-86-31-11-1) 35 011201- S)01 = = V = 36. -n(n+1)(2n+1)-12・ • ½ n(n+1)+n+11 = 12n³ +12n² +n+11 -Eb₁ (n ≥ 2) k=1 Dal 一般に, 数列 {an}が 初項 α (≠0), 公比r (≠0) の等比数列であるとき, 数列 (12/0} は、初項1/12,公比1/1の 等比数列である。 6n-1にn=1 を代入すると 6.1-1=5 となり, b1 = 6 と一致しない。 初項a,公の等差数列のclo職者の民意の URORESTSALOMONS & U

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英語 高校生

黄色のマーカーが引いてあるところが理解できません。 なぜ異なる2個の実数解を持つのは-1<t<1の範囲でただ一つの解を持つときになるのでしょうか?

Key 関数 f(0)= sin30+ (0≤0 <2π) について (1) cos20=ア ウ ]sin²0, sin30= ■力 |t² - # sin0 + in であるから, t = sin0 とおいて(0) を用い て表すと, S(0)=オド となる。 また,002 であるから,t の値の範囲はケコ SIS サである。 したがって,S (0) は 0 = または 0 = Key 1 30000 cos20-5sin0 + 2 [ヌネ (2) 方程式f(0)=k0 ≦0 <2mの範囲で異なる2個の実数解をもつとき,定数kの値の範囲はん= [ハヒ くんくフである。 解答 セソ タ のとき, 最小値 ナニをとる。 =(1) 24- 1 (1) f(0) - sin30 + cos 20-5sin0 + 2 2倍角の公式により また t= のとき, 最大値 5 2 k = sin 30= sin(0+20) cos20=1-2sin20 よって, t = sin とおくと 5 __10_b.__ƒ (0) = − (3t − 4t³) + 2 (1 -(1-2t²)-5t+ = 4t-5t2-8t+3 また、 0≦0 <2π より -1≦t≦1 ここで,g(t)=4t° -5t2 -8t+3 とおくと g'(t)=12t2-10t-8 (大)の = 2(2t+1)(3t-4) 1≦t≦1において, g(t) の 増減表は右のようになる。 よって, g(t) は = sin Acos20 + cos0sin 20 = sin0(1-2sin²0) + cos0.2sin Acoso = sin0 - 2sin³0 +2sin0(1-sin²0) = x 5) (3) = 3sin0-4sin'0 [チツ] テ 2 (1-x)(ES+81-AE) = (01-ES se s £5M($+381 - 57 1815 181 +38-=8 t D)g' (t) または-6<ん<2 -1 ... + Ad@cos 20 = cos²0-sin²0 =1-2sin²0 =2cos20-1 加法定理を利用する。 g(t) 2 7 TOOGUN STE 7 11 すなわち 0 = π, πのとき 最大値 2 6 6 1 19 2 0 21 4 21 4 ... - €39(t)4 1 21 sino のみの式で表す。 -6 π t = 1 すなわち 0 = のとき 最小値 6 2 (2) 方程式f(0)=hが0≦0<2πの範囲で異なる2個の実数解をも つのは,t の方程式 g(t)=hが-1<t<1の範囲でただ1つの解を もつときである。よって, グラフより 求める定数の値の範囲は 21 2011 4 (8-4) 10-381 +10 tの3次関数となる。 2634 21 4 O または (1) = ±1 のとき, 0 の値は1つ t である。 よ

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